Question

恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世．著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路x同側(cè)，AB＝50kｍ，點A、B到直線x的距離分別為10kｍ 和40kｍ．要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P，向A、B兩景區(qū)運送游客．小民設(shè)計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線x垂直，垂足為P），點P到點A、B的距離之和S₁＝PA＋PB；圖（2）是方案二的示意圖（點A關(guān)于直線x的對稱點是點A′，連接BA′交直線x于點P），點P到點A、B的距離之和S₂＝PA＋PB．

（1）求S₁、S₂，并比較它們的大小；

（2）請你說明S₂＝PA＋PB的值為最小；

（3）擬建的恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路x垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，點B到直線y的距離為30kｍ．請你在x旁和y旁各修建一服務(wù)區(qū)P、Q，使點P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值．

Answer 1

（1）圖（1）中過點B作BC⊥AP，垂足為C，則PC＝40，

又　AP＝10，

∴　AC＝30．

在Rt△ABC中，AB＝50，AC＝30，

∴　BC＝40．

∴　BP＝＝．

∴　S₁＝＋10．

設(shè)點A到x的距離為AD，則AD＝10．

圖（2）中過點B作BC⊥AD，垂足為C．

∵　CD＝40，

∴　AC＝30．

∵　點A與點A′關(guān)于直線x對稱，

∴　A′D＝AD＝10，AP＝A′P．

∴　A′C＝50．

在Rt△A′BC中，BA′ ＝  ＝，

∴　S₂＝PA＋PB＝BP＋PA′＝BA′＝．

從而知S₁＞S₂．

（2）圖（2），在公路上任找一點M，連接MA、MB、MA′，由軸對稱知MA＝MA′，

∴　MB＋MA＝MB＋MA′＞A′B．

∴　 S₂＝BA′為最�。�

（3）過點A作關(guān)于x軸的對稱點A′，過點B作關(guān)于y軸的對稱點B′，連接A′B′，交x軸于點P，交y軸于點Q，則點P、Q即為所求．

過點A′、B′分別作x軸、y軸的平行線交于點G，

A′B′＝＝，

∴　所求四邊形的周長為50＋．