Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A（，1）在反比例函數(shù)y=的圖像上．

（1）k= ；

（2）在x軸的負(fù)半軸上存在一點(diǎn) P ，使得S△AOP=S△AOB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在該反比例函數(shù)的圖像上，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，0）. （3）點(diǎn)E在該反比例函數(shù)的圖象上，理由見解析.

【解析】

（1）把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的表達(dá)式，即可求出答案；

（2）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)求出OC、AC的長，可證得△OAC∽△BOC，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出BC的長，然后根據(jù)三角形面積公式求出△OAB的面積，根據(jù)已知S△AOP=S△AOB，求出OP長，即可求出答案；

（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出E點(diǎn)坐標(biāo)為（-，-1），即可求解．

解：（1）把A（，1）代入反比例函數(shù)y=得：k=1×=；

（2）∵A（，1），AB⊥x軸于點(diǎn)C，∴OC=，AC=1.

∵OA⊥OB，AB⊥x軸，

∴△OAC∽△BOC，

∴OC2=AC·BC，

可得BC=3，

∴B（，-3），AB=4，

∴S△AOB＝××4=2，∴S△AOP=S△AOB=，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是為（m，0），∴×|m|×1=，∴|m|=2.

∵P是x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，

∴m=-2，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，0）.

（3）點(diǎn)E在該反比例函數(shù)的圖象上，理由如下：

∵OA⊥OB，OA=2，OB=2，AB=4，

∴sin∠ABO===，

∴∠ABO=30°.

∵將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE，

∴∠OBD=60°，BO=BD=2，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°.

又BD-OC=，BC-DE=1，

∴E（-，-1），

而(-1)×(-)=.

∴點(diǎn)E在該反比例函數(shù)的圖象上.