Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的對(duì)稱軸為x＝－1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(2，0)．若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整數(shù)根，則p的值有（ ）

A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意可知一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）的根應(yīng)為整數(shù)，通過拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的對(duì)稱軸為x=-1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（2，0）．可以畫出大致圖象判斷出直線y=p（0＜p≤-9a），觀察圖象當(dāng)0＜y≤-9a時(shí)，拋物線始終與x軸相交于（-4，0）于（2，0）．故自變量x的取值范圍為-4＜x＜2．所以x可以取得整數(shù)-3，-2，-1，0，1，共5個(gè)．由于x=-3與x=1，x=-2與x=0關(guān)于對(duì)稱軸直線x=-1對(duì)稱，所以x=-3與x=1時(shí)對(duì)應(yīng)一條平行于x軸的直線，x=-2與x=0時(shí)對(duì)應(yīng)一條平行于x軸的直線，x=-1時(shí)對(duì)應(yīng)一條平行于x軸且過拋物線頂點(diǎn)的直線，從而確定y=p時(shí)，p的值應(yīng)有3個(gè)．

解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的對(duì)稱軸為x=-1，

∴=-1，解得b=2a．

又∵拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（2，0）．

把（2，0）代入y=ax2+bx+c得，0=4a+4a+c，

解得，c=-8a．

∴y=ax2+2ax-8a（a＜0），

對(duì)稱軸h=-1，最大值k==-9a．如圖所示，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-9a），

令ax2+2ax-8a=0，

即x+2x-8=0，

解得x=-4或x=2，

∴當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線始終與x軸交于（-4，0）與（2，0）．

∴ax2+bx+c=p

即常函數(shù)直線y=p，由p＞0，

∴0＜y≤-9a，

由圖象得當(dāng)0＜y≤-9a時(shí)，-4＜x＜2，其中x為整數(shù)時(shí)，x=-3，-2，-1，0，1，

∴一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）的整數(shù)解有5個(gè)．

又∵x=-3與x=1，x=-2與x=0關(guān)于直線x=-1軸對(duì)稱，

當(dāng)x=-1時(shí)，直線y=p恰好過拋物線頂點(diǎn)．

所以p值可以有3個(gè)．

故選：B．