Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中如圖，已知拋物線，經(jīng)過點(diǎn)、．

求此拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

聯(lián)結(jié)AC交y軸于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)BD、BC，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)H，拋物線對(duì)稱軸交x軸于G，聯(lián)結(jié)HG，求HG的長．

Answer 1

【答案】(1) (2) ．

【解析】試題分析：（1）已知拋物線過A，B兩點(diǎn)，可將A，B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．然后可根據(jù)拋物線的解析式得出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）本題介紹三種解法：
方法一：分別求直線AC的解析式和BD的解析式，直線AC：y=-x-1，直線BD：y=x-1，可得D和P的坐標(biāo)，證明△BPG∽△CPH和△HPG∽△CPB，列比例式可得HG的長；
方法二：如圖2，過點(diǎn)H作HM⊥CG于M，先根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠BCD=90°，利用面積法求CH的長，再證明△OBD∽△MCH，列比例式可得CM的長，從而可得結(jié)論；
方法三：直線AC：y=-x-1，求CH和BD的解析式，聯(lián)立方程組可得H的坐標(biāo)，由勾股定理可得GH的長．

試題解析：

把、代入拋物線解析式，

得： ，解得： ，

拋物線的解析式為： ，

頂點(diǎn)

方法一：設(shè)BD與CG相交于點(diǎn)P，

設(shè)直線AC的解析式為：

把和代入得：

解得：

則直線AC： ，

，

同理可得直線BD： ，

∽，

∽，

，

，

；

方法二：如圖2，過點(diǎn)H作于M，

，

，

，

，

，

，

∽，

，

，

，

由勾股定理得：

，

方法三：直線AC： ，

，

直線BD： ，

，

，

直線CH： ，

聯(lián)立解析式： ，解得： ，

．