Question

如圖，直線y=-

1

2

x+2交x軸于A點，交y軸于B點．點P為雙曲線y=

k

x

（x＞0）上一點，且PA=PB，∠APB=90°，求k的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)圖形首先得出△EPB≌△FPA（AAS），則PE=PF，進而利用勾股定理得出P點坐標，進而得出k的值．

解答：解：過點P作PE⊥y軸于點E，作PF⊥x軸于點F，
由題意得：∠PEO=∠EOA=∠OFP=90°，
∴∠EPF=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠EPB+∠BPF=90°，∠BPF+∠FPA=90°，
∴∠EPB=∠APF，
在△EPB和△FPA中，

∠PEB=∠PFA ∠EPB=∠APF PB=PA

，
∴△EPB≌△FPA（AAS），
∴PE=PF，
∵直線y=-

1

2

x+2交x軸于A點，交y軸于B點，
∴y=0時，x=4，x=0時，y=2，
∴A（4，0），B（0，2），
∴AB=

20

，
∴PA=PB=

10

，
設PF=a，則AF=4-a，
∴PA²=PF²+FA²，
∴（

10

）²=a²+（4-a）²，
解得：a₁=1，a₂=3，
當P點在第一象限則P點坐標為；（3，3），
當P點在第四象限則P點坐標為；（1，-1），
∴k的值為：k=3×3=9或k=1×（-1）=-1．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出P點橫縱坐標關(guān)系是解題關(guān)鍵．