Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣3，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，D（4﹣4，0）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點(diǎn)A移動(dòng)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若經(jīng)過t秒的移動(dòng)，線段PQ被CD垂直平分，求此時(shí)t的值；

（3）在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)G，使得S△GCB＝S△GCA，再在拋物線上找點(diǎn)E（不與點(diǎn)A、B、C重合），使得∠GBE＝45°，求E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可；

（2）首先求出△AQD∽△ACB，則，得出DQ＝DP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；

（3）首先得出G點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出△BGM∽△BEN，進(jìn)而假設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得出E點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）將A（﹣3，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+4得：

，

解得：，

故拋物線的解析式為：；

（2）如圖，連接QD，

由B（4，0）和D（，0），

可得BD＝，

∵，

∴CO＝4，

∴BC＝4，則BC＝BD，

∴∠BDC＝∠BCD＝∠QDC，

∴DQ∥BC，

∴△AQD∽△ACB，

∴，

∴，

∴DQ＝＝DP，

；

（3）如圖，過點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，

∵S△GCB＝S△GCA，

∴只有CG∥AB時(shí)，G點(diǎn)才符合題意，

∵C（0，4），

∴4＝﹣x2+x+4，

解得：x1＝1，x2＝0，

∴G（1，4），

∵∠GBE＝∠OBC＝45°，

∴∠GBC＝∠ABE，

∴△BGM∽△BEN，

∴，

設(shè)E

∴

解得，x2＝4（舍去），

則E．