Question

已知：如圖，Rt△MPN的頂點P在正方形ABCD的邊AB上，∠MPN=90°，PN經(jīng)過點C，PM與AD交于點Q．
（1）在不添加字母和輔助線的情況下，圖中△APQ∽△

 

；
（2）若P為AB的中點，聯(lián)結(jié)CQ，求證：AQ+BC=CQ；
（3）若AQ=

1

4

AD時，試探究線段PC與線段PQ的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用相似三角形的判定方法以及利用正方形的性質(zhì)進而得出答案；
（2）首先，證明△APQ≌△BOE（ASA），進而得出CE=CQ，得出BE+BC=CQ，進而得出答案；
（3）首先得出△APQ∽△BCP，進而得出

PQ

PC

=

AQ

BP

=

AP

BC

，再利用AQ=

1

4

AD=

1

4

AB，得出PC與PQ的關(guān)系．

解答：解：（1）∵∠APQ+∠BPC=90°，∠APQ+∠AQP=90°，
∴∠AQP=∠BPC，
又∵∠A=∠B，
∴△APQ∽△BCP；
故答案為：BCP；

（2）證明：如圖1，延長QP交CB的延長線于點E，
∵P為AB中點，
∴PA=PB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠QAP=∠PBC=∠EBP=90°，
∵∠APQ=∠EPB，
在△APQ和△BOE中

∠APQ=∠BPE AP=BP ∠A=∠EBP

，
∴△APQ≌△BOE（ASA），
∴AQ=BE，PQ=PE，
∵∠MPN=90°，
∴CP⊥QE，
∴CE=CQ，
∴BE+BC=CQ，
∴AQ+BC=CQ；

（3）當(dāng)AQ=

1

4

AD時，有PC=2PQ，
理由：如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
AD=BC=AB，
∴∠3+∠2=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠1+∠2=180°-∠MPN=90°，
∴∠1=∠3，
∴△APQ∽△BCP，
∴

PQ

PC

=

AQ

BP

=

AP

BC

，
∵AQ=

1

4

AD=

1

4

AB，
∴

1 4 AB

AB-AP

=

AP

AB

，
∴

1

4

AB²=AB•AP-AP²，
∴AP=

1

2

AB，
∴

PQ

PC

=

AP

BC

=

AP

AB

=

1

2

，
∴PC=2PQ．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△APQ∽△BCP是解題關(guān)鍵．