Question

【題目】已知：如圖，平行四邊形ABCD，對角線AC與BD相交于點E，點G為AD的中點，且AG＝AB、CG的延長線交BA的延長線于點F，連接FD．試探究當(dāng)∠BCD＝　 °時，四邊形ACDF是矩形，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】當(dāng)∠BCD＝120°時，四邊形ACDF是矩形，證明見解析．

【解析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證△AGF≌△DGC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證AB＝AF，四邊形ACDF是平行四邊形，進而證得AD＝CF，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形判斷即可．

當(dāng)∠BCD＝120°時，四邊形ACDF是矩形，

理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠AFC＝∠DCG，

∵點G為AD的中點，

∴GA＝GD，

又∠AGF＝∠CGD，

∴△AGF≌△DGC（ASA），

∴AF＝CD，

又AB∥CD，AB＝CD，

∴AB＝AF，四邊形ACDF是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD＝∠BCD＝120°，

∴∠FAG＝60°，

∵AB＝AG＝AF，

∴△AFG是等邊三角形，

∴AG＝GF，

∵△AGF≌△DGC，

∴FG＝CG，

∵AG＝GD，

∴AD＝CF，

∴四邊形ACDF是矩形．

故答案為：120．