【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合),以E為頂點(diǎn)作∠OET=45°,射線ET交線段OB于點(diǎn)F,C為y軸正半軸上一點(diǎn),且OC=AB,拋物線y=-x2+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求證:∠BEF=∠AOE;
(3)當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí),求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);
(4)在(3)的條件下,當(dāng)直線EF交x軸于點(diǎn)D,P為(1)中拋物線上一動(dòng)點(diǎn),直線PE交x軸于點(diǎn)G,在直線EF上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得△EPF的面積是△EDG面積的(2+1)倍.若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=-x2-x+2;(2)證明見解析;(3)(-1, 1),(-, 2-);(4)P(0, 2)或P(-1,2)
【解析】
試題(1)首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)利用三角形外角性質(zhì),易證∠BEF=∠AOE;
(3)當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí),有三種情況,需要分類討論,注意不要漏解;
(4)本問(wèn)關(guān)鍵是利用已知條件求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo),要點(diǎn)是將△EPF與△EDG的面積之比轉(zhuǎn)化為線段之比.如圖④所示,首先證明點(diǎn)E為DF的中點(diǎn),然后作x軸的平行線FN,則△EDG≌△EFN,從而將△EPF與△EDG的面積之比轉(zhuǎn)化為PE:NE;過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線,可依次求出線段PT、PM的長(zhǎng)度,從而求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo);最后解一元二次方程,確定點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析:(1) 如答圖①, ∵A(-2,0)B(0,2)
∴OA="OB=2" ∴AB2=OA2+OB2=22+22=8∴AB=2∵OC=AB∴OC=2, 即C (0,2)
又∵拋物線y=-x2+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn) 則可得解得:
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2-x+2
(2) ∵OA=OB ∠AOB=90° ∴∠BAO=∠ABO=45°
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ∴∠BEF=∠AOE
(3) 當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí),分三種情況討論
①當(dāng)OE=OF時(shí), ∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中, ∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°
又∵∠AOB=90°
則此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合, 不符合題意, 此種情況不成立.
②如答圖②, 當(dāng)FE=FO時(shí),
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中,∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO ∴ ∠BEF=∠BAO=45° 又∵ 由 (2) 可知 ,∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO ∴BF=EF∴EF=BF=OF=OB=×2=1 ∴ E(-1, 1)
③如答圖③, 當(dāng)EO=EF時(shí), 過(guò)點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H 在△AOE和△BEF中,
∠EAO=∠FBE, EO=EF, ∠AOE=∠BEF ∴△AOE≌△BEF ∴BE=AO=2
∵EH⊥OB ∴∠EHB=90°∴∠AOB=∠EHB ∴EH∥AO ∴∠BEH=∠BAO=45°
在Rt△BEH中, ∵∠BEH=∠ABO=45° ∴EH=BH=BEcos45°=2×=
∴OH="OB-BH=2-"∴ E(-, 2-)
綜上所述, 當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí), 所求E點(diǎn)坐標(biāo)為E(-1, 1)或E(-, 2-)
(4) P(0, 2)或P (-1, 2)
考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,頂點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合,點(diǎn)C在x軸的正半軸上,過(guò)點(diǎn)B作BA1⊥AC于點(diǎn)A1,過(guò)點(diǎn)A1作A1B1∥OA,交OC于點(diǎn)B1;過(guò)點(diǎn)B1作B1A2⊥AC于點(diǎn)A2,過(guò)點(diǎn)A2作A2B2∥OA,交OC于點(diǎn)B2;……,按此規(guī)律進(jìn)行下去,點(diǎn)A2020的坐標(biāo)是_____________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位招聘員工兩名,采取筆試與面試相結(jié)合的方式進(jìn)行,兩項(xiàng)成績(jī)?cè)挤譂M分均為100分,前六名選手的得分如下:
序號(hào)項(xiàng)目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
筆試成績(jī)(分) | 85 | 92 | 84 | 90 | 84 | 80 |
面試成績(jī)(分) | 90 | 83 | 82 | 90 | 80 | 85 |
(1)這6名選手筆試成績(jī)的中位數(shù)是________分,眾數(shù)是________分.
(2)現(xiàn)得知1號(hào)選手的綜合成績(jī)?yōu)?/span>88分,求筆試成績(jī)和面試成績(jī)各占的百分比;
(3)在(2)的情況下________,(填序號(hào))選手會(huì)被錄。
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,是邊上一點(diǎn),以為圓心,OA為半徑的圓分別交AB,AC于點(diǎn)E,D,在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn),使得,與交于點(diǎn).
(1)判斷直線與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)OA=4, ∠A=30°,求圖中線段DG、線段EG與弧DE圍成陰影部分的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,的對(duì)角線,相交于點(diǎn),,是上的兩點(diǎn),并且,連接,.
(1)求證;
(2)若,連接,,判斷四邊形的形狀,并說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至,使點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上.已知,則___________度;如圖,已知正方形的邊長(zhǎng)為分別是邊上的點(diǎn),且,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到.若,則的長(zhǎng)為_________ .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年是中國(guó)工農(nóng)紅軍長(zhǎng)征勝利80周年,某商家用1200元購(gòu)進(jìn)了一批長(zhǎng)征勝利主題紀(jì)念衫,上市后果然供不應(yīng)求,商家又用2800元購(gòu)進(jìn)了第二批這種紀(jì)念衫,所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍,但單價(jià)貴了5元.
(1)該商家購(gòu)進(jìn)的第一批紀(jì)念衫單價(jià)是多少元?
(2)若兩批紀(jì)念衫按相同的標(biāo)價(jià)銷售,最后剩下20件按標(biāo)價(jià)八折優(yōu)惠賣出,如果兩批紀(jì)念衫全部售完利潤(rùn)不低于640元(不考慮其它因素),那么每件紀(jì)念衫的標(biāo)價(jià)至少是多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】課外興趣小組活動(dòng)時(shí),老師提出了如下問(wèn)題:如圖 1,在△ABC 中,若 AB=5,AC=3,求 BC 邊上的中線 AD 的取值范圍. 小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流,得到了如下的解決方法:延長(zhǎng) AD 到 E,使得 DE=AD,再連接 BE(或?qū)?/span>△ACD 繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180°得到△EBD),把 AB、AC、2AD 集中在△ABE 中, 利用三角形的三邊關(guān)系可得 2<AE<8,則 1<AD<4.
(感悟)解題時(shí),條件中若出現(xiàn)中點(diǎn)、中線字樣,可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中 心對(duì)稱圖形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.
(解決問(wèn)題)受到(1)的啟發(fā),請(qǐng)你證明下列命題:如圖 2,在△ABC 中,D 是 BC 邊上的中點(diǎn), DE⊥DF,DE 交 AB 于點(diǎn) E,DF 交 AC 于點(diǎn) F,連接 EF.
(1)求證:BE+CF>EF,
(2)若∠A=90°,探索線段 BE、CF、EF 之間的等量關(guān)系,并加以證明.、
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班50名學(xué)生期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)(單位:分)的頻率分布條形圖如圖所示,其中數(shù)據(jù)不在分點(diǎn)上,對(duì)圖中提供的信息作出如下的判斷:
(1)成績(jī)?cè)?/span>49.5分~59.5分段的人數(shù)與89.5分~100分段的人數(shù)相等;
(2)成績(jī)?cè)?/span>79.5~89.5分段的人數(shù)占30%;
(3)成績(jī)?cè)?/span>79.5分以上的學(xué)生有20人;
(4)本次考試成績(jī)的中位數(shù)落在69.5~79.5分段內(nèi).
其中正確的判斷有( )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com