【題目】課外興趣小組活動(dòng)時(shí),老師提出了如下問題:如圖 1,在ABC 中,若 AB5,AC3,求 BC 邊上的中線 AD 的取值范圍. 小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長(zhǎng) AD E,使得 DEAD,再連接 BE(或?qū)?/span>ACD 繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180°得到EBD),把 AB、AC、2AD 集中在ABE 中, 利用三角形的三邊關(guān)系可得 2AE8,則 1AD4

(感悟)解題時(shí),條件中若出現(xiàn)中點(diǎn)、中線字樣,可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中 心對(duì)稱圖形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.

(解決問題)受到(1)的啟發(fā),請(qǐng)你證明下列命題:如圖 2,在ABC 中,D BC 邊上的中點(diǎn), DEDF,DE AB 于點(diǎn) E,DF AC 于點(diǎn) F,連接 EF

1)求證:BECFEF,

2)若∠A90°,探索線段 BE、CFEF 之間的等量關(guān)系,并加以證明.、

【答案】1)見解析;(2,見解析

【解析】

1)延長(zhǎng)FDG,使得DG=DF,連接BG、EG.(或把△CFD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD),利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題;

2)若∠A=90°,則∠EBC+FCB=90°,在RtEBG中,根據(jù)BE2+BG2=EG2,即可解決問題;

解:(1)延長(zhǎng)FDG,使得DG=DF,連接BGEG.(或把△CFD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD),

CF=BG,DF=DG,

DEDF,

EF=EG

在△BEG中,BE+BGEG

BE+CFEF

2)若∠A=90°,則∠EBC+FCB=90°,

由(1)知∠FCD=DBG,EF=EG,

∴∠EBC+DBG=90°,即∠EBG=90°,

∴在RtEBG中,BE2+BG2=EG2,

BE2+CF2=EF2

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AC是直徑,∠A=30°,BC=4,點(diǎn)DAB的中點(diǎn),連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)P.

(1)求劣弧PC的長(zhǎng)結(jié)果保留π);

(2)過點(diǎn)PPFAC于點(diǎn)F,求陰影部分的面積結(jié)果保留π).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合),以E為頂點(diǎn)作∠OET=45°,射線ET交線段OB于點(diǎn)F,Cy軸正半軸上一點(diǎn),且OC=AB,拋物線y=-x2+mx+n的圖象經(jīng)過A,C兩點(diǎn).

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)求證:∠BEF=AOE;

(3)當(dāng)EOF為等腰三角形時(shí),求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);

(4)在(3)的條件下,當(dāng)直線EFx軸于點(diǎn)D,P為(1)中拋物線上一動(dòng)點(diǎn),直線PEx軸于點(diǎn)G,在直線EF上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得EPF的面積是EDG面積的(2+1)倍.若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABCD中,AD=2AB,FAD的中點(diǎn),作CEAB,垂足E在線段AB上(E不與A、B重合),連接EF、CF,則下列結(jié)論中一定成立的是 ( )

①∠DCF=BCDEF=CF;④∠DFE=4AEF

A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ①②④

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】ABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中的位置如圖所示.

1)作△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A1B1C1

2)將△ABC向右平移3個(gè)單位,作出平移后的△A2B2C2

3)若點(diǎn)M是平面直角坐標(biāo)系中直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Nx軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且以O、A2、MN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在一幅長(zhǎng)為80cm,寬為50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條相同寬度的金色紙邊,制成一幅矩形掛圖,如圖所示,如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2,設(shè)金色紙邊的寬為xcm,那么x滿足的方程是( )

A. (80+2x)(50+2x)=5400 B. (80-x)(50-x)=5400

C. (80+x)(50+x)=5400 D. (80-2x)(50-2x)=5400

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊起來,使其對(duì)角頂點(diǎn)A、C重合,若其長(zhǎng)BC8,寬AB4

1)求證:△AEF是等腰三角形.

2EF   

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,ABC BAC=9 0°,AB=3,AC=4,點(diǎn) D BC 的中點(diǎn),ABD 沿 AD 翻折得到AED, CE,則線段 CE 的長(zhǎng)等于

A. 2 B. C. D.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,在RtABC中,∠A=90°,AB=AC,點(diǎn)DE分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點(diǎn)MP,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).

(1)觀察猜想

1中,線段PMPN的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 ;

(2)探究證明

ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷PMN的形狀,并說明理由;

(3)拓展延伸

ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請(qǐng)直接寫出PMN面積的最大值.

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