Question

【題目】如圖，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至，使點落在的延長線上．已知，則___________度；如圖，已知正方形的邊長為分別是邊上的點，且，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．若，則的長為_________ ．

Answer 1

【答案】46 2.5

【解析】

先利用三角形外角性質(zhì)得∠ACA′=∠A+∠B=67°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCB′=∠ACA′=67°，然后利用平角的定義計算∠ACB′的度數(shù)；由旋轉(zhuǎn)可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；則可得到AE=CM=1，正方形的邊長為3，用AB-AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為FM的長．．

解：∵∠A=27°，∠B=40°，

∴∠ACA′=∠A+∠B=67°，

∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，

∴∠BCB′=∠ACA′=67°，

∴∠ACB′=180°-67°-67°=46°．

∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，

∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，

∴F、C、M三點共線，

∴DE=DM，∠EDM=90°，

∴∠EDF+∠FDM=90°，

∵∠EDF=45°，

∴∠FDM=∠EDF=45°，

在△DEF和△DMF中，，

∴△DEF≌△DMF（SAS），

∴EF=MF，

設EF=MF=x，

∵AE=CM=1，且BC=3，

∴BM=BC+CM=4，

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，

∵EB=AB-AE=2，

在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，

即22+（4-x）2=x2，

解得：x=2.5，

∴FM=2.5．

故答案為：46；2.5．