Question

【題目】平面直角坐標系中，拋物線C1：y1=x2-2mx+2m2-1，拋物線C2：y2=x2-2nx+2n2-1，

（1）若m=2，過點A(0,7)作直線l垂直于y軸交拋物線C1于點B、C兩點．

①求BC的長；

②若拋物線C2與直線l交于點E、F兩點，若EF長大于BC的長，直接寫出n的范圍；

（2）若m+n=k(k是常數(shù))，

①若，試說明拋物線C1與拋物線C2的交點始終在定直線上；

②求y1+y2的最小值(用含k的代數(shù)式表示) ．

Answer 1

【答案】(1)①4；②-2＜n＜2；(2)①交點橫坐標為k，且k是常數(shù)，在直線x=k上；②

【解析】

(1)①將m=2代回拋物線C1中，得到解析式，再令解析式中y=7，進而求出B、C兩點的橫坐標，進而求出BC的長；

②拋物線C2：y2=x2-2nx+2n2-1中令y2=7，求出EF的長為，再利用EF大于BC即可求解；

(2)①聯(lián)立拋物線C1和C2求出交點的橫坐標是常數(shù)k，進而確定交點始終在定直線x=k上；

②先算出y1+y2= (x2-2mx+2m2-1)+ (x2-2nx+2n2-1)=2x-2(m+n)x+2(m+n)-2，再將m+n=k整體代入求最值即可.

解：(1)①當m=2時，拋物線C1的解析式為：y1=x2-4x+7，

令y=7，即x2-4x+7=7，解得x1=0，x2=4，

∴BC的長為：4-0=4.

故答案為：4.

②拋物線C2：y2=x2-2nx+2n2-1中令y2=7，

即：x2-2nx+2n2-1=7，解得：x1=，x2=，

∴EF=，

∵EF大于BC，

∴，

解得：，

故答案為：.

(2)①聯(lián)立拋物線C1和C2

即：，

整理有：，

又，∴，等式兩邊同時除以

∴，

故C1和C2交點的橫坐標是常數(shù)k，

∴拋物線C1與拋物線C2的交點始終在定直線x=k上.

②由題意知：

y1+y2= (x2-2mx+2m2-1)+ (x2-2nx+2n2-1)

=2x-2(m+n)x+2(m+n)-2

=2x-2kx+2(m+n)-2.

將2x-2kx+2(m+n)-2看成是一個新的函數(shù)用y3來表示，

即：y3=2x-2kx+2(m+n)-2，

當其對稱軸x=時，y3有最小值，

將x=代入，其最小值為：，

又m+n=k，∴n=m-k，

∴m+n=m+(m-k)=2m-2mk+k，

∴當m=時，此時n=，m+n有最小值為：，

故的最小值為：.

故答案為：.