【題目】平面直角坐標(biāo)系中,拋物線C1y1=x2-2mx+2m2-1,拋物線C2y2=x2-2nx+2n2-1,

1)若m=2,過點(diǎn)A(0,7)作直線l垂直于y軸交拋物線C1于點(diǎn)B、C兩點(diǎn).

①求BC的長(zhǎng);

②若拋物線C2與直線l交于點(diǎn)EF兩點(diǎn),若EF長(zhǎng)大于BC的長(zhǎng),直接寫出n的范圍;

2)若m+n=k(k是常數(shù)),

①若,試說明拋物線C1與拋物線C2的交點(diǎn)始終在定直線上;

②求y1+y2的最小值(用含k的代數(shù)式表示)

【答案】(1)4;②-2n2;(2)①交點(diǎn)橫坐標(biāo)為k,且k是常數(shù),在直線x=k上;②

【解析】

(1)①將m=2代回拋物線C1中,得到解析式,再令解析式中y=7,進(jìn)而求出BC兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),進(jìn)而求出BC的長(zhǎng);

②拋物線C2y2=x2-2nx+2n2-1中令y2=7,求出EF的長(zhǎng)為,再利用EF大于BC即可求解;

(2)①聯(lián)立拋物線C1C2求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是常數(shù)k,進(jìn)而確定交點(diǎn)始終在定直線x=k上;

②先算出y1+y2= (x2-2mx+2m2-1)+ (x2-2nx+2n2-1)=2x-2(m+n)x+2(m+n)-2,再將m+n=k整體代入求最值即可.

解:(1)①當(dāng)m=2時(shí),拋物線C1的解析式為:y1=x2-4x+7

y=7,即x2-4x+7=7,解得x1=0,x2=4,

BC的長(zhǎng)為:4-0=4.

故答案為:4.

②拋物線C2y2=x2-2nx+2n2-1中令y2=7,

即:x2-2nx+2n2-1=7,解得:x1=,x2=,

∴EF=,

∵EF大于BC,

,

解得:

故答案為:.

(2)①聯(lián)立拋物線C1C2

即:,

整理有:

,,等式兩邊同時(shí)除以

C1C2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是常數(shù)k,

拋物線C1與拋物線C2的交點(diǎn)始終在定直線x=k.

②由題意知:

y1+y2= (x2-2mx+2m2-1)+ (x2-2nx+2n2-1)

=2x-2(m+n)x+2(m+n)-2

=2x-2kx+2(m+n)-2.

2x-2kx+2(m+n)-2看成是一個(gè)新的函數(shù)用y3來表示,

即:y3=2x-2kx+2(m+n)-2,

當(dāng)其對(duì)稱軸x=時(shí),y3有最小值,

x=代入,其最小值為:,

m+n=k,∴n=m-k,

∴m+n=m+(m-k)=2m-2mk+k,

當(dāng)m=時(shí),此時(shí)n=,m+n有最小值為:,

的最小值為:.

故答案為:.

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②B點(diǎn)的坐標(biāo)是

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