Question

已知四邊形ABCD是邊長為4

3

的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF交于點E，交BC于點F，
（1）求證：OE=OF；
（2）若EF⊥BC，求CE的長．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)菱形的對角線互相平分可得AO=CO，對邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等；
（2）根據(jù)菱形的對角線平分一組對角求出∠DAO=30°，然后求出AO的長，再求出EF的長，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，

∠OAE=∠OCF AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，
∴∠DAO=

1

2

∠BAD=

1

2

×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°-30°=60°，
∵菱形的邊長為4

3

，∠DAO=30°，
∴OD=AD=

1

2

×4

3

=2

3

，
∴AO=6，
∴AE=CF=3

3

，OE=3，
∴EF=2×3=6，
在Rt△CEF中，CE=

CF2+EF2

=3

7

．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用．