Question

如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=-x²+2mx（m＞0）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．過(guò)點(diǎn)P（1，m）作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B．記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C（B、C不重合）．連結(jié)CB，CP．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)m＞1時(shí)，連結(jié)CA，問(wèn)m為何值時(shí)CA⊥CP．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先令y=0，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，連接AC，得出△ACH∽△PCB，進(jìn)而求出AH=1，CH=2m-1，進(jìn)而得出m的值．

解答：解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，y=-x²+6x令y=0，
得-x²+6x=0，
解得：x₁=0，x₂=6，
則A（6，0）
當(dāng)x=1時(shí)，y=5，故B（1，5）
∵拋物線y=-x²+6x的對(duì)稱軸為直線x=3，
又∵B、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴BC=4；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，
由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB     
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
∴△ACH∽△PCB
∴

AH

CH

=

PB

PC

，
∵拋物線y=-x²+2mx（m＞0）的
對(duì)稱軸為直線x=m，其中m＞1，
又∵B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴BC=2（m-1）
∵B（1，2 m-1），P（1，m），
∴BP=m-1，
又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），
∴H（2m-1，0）
∴AH=1，CH=2m-1
∴

1

2m-1

=

m-1

2(m-1)

，
解得：m=

3

2

，
即m=

3

2

時(shí)CA⊥CP．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用m表示出各邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．