【題目】如圖,將正方形ABCO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度,得到正方形ADEF,ED交線段OC于點(diǎn)G,ED的延長(zhǎng)線交線段BC于點(diǎn)P,連AP、AG.
(1)求證:△AOG≌△ADG;
(2)求∠PAG的度數(shù);并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系,說(shuō)明理由;
(3)若正方形ABCO的邊長(zhǎng)為,∠1=∠2,求AP的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)∠PAG =45°,PG=OG+BP(3)AH=2,AP=
【解析】試題分析:(1)由AO=AD,AG=AG,利用“HL”可證△AOG≌△ADG;(2)利用(1)的方法,同理可證△ADP≌△ABP,得出∠1=∠DAG,∠DAP=∠BAP,而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,由此可求∠PAG的度數(shù);根據(jù)兩對(duì)全等三角形的性質(zhì),可得出線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系;(3)由△AOG≌△ADG可知,∠AGO=∠AGD,而∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,當(dāng)∠1=∠2時(shí),可證∠AGO=∠AGD=∠PGC,而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°,即∠1=∠2=30°,解直角三角形求OG,PC,確定P、G兩點(diǎn)坐標(biāo),得出直線PE的解析式,進(jìn)而可求出AP的長(zhǎng).
試題解析:
(1)由題意得,AO=AD,∠AOG=∠ADG=90°,
∴在Rt△AOG和Rt△ADG中,AO=AD,AG=AG,∴△AOG≌△ADG.
(2)∠PAG =45°,PG=OG+BP.
理由如下:
由(1)同理可證△ADP≌△ABP,則∠DAP=∠BAP,DP=BP,
∵由(1)△AOG≌△ADG,
∴∠1=∠DAG,DG=OG,
又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,
∴2∠DAG+2∠DAP=90°,
即∠DAG+∠DAP=45°,
∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°,
PG=DG+DP=OG+BP.
(3)∵△AOG≌△ADG,
∴∠AGO=∠AGD,
又∵∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,∠1=∠2,
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC,
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°,
∴∠1=∠2=30°,
在Rt△AOG中,AO=,OG=AOtan30°=+1,AG=2+2,
在Rt△AOG中,CG=2,PG=4,
作PH⊥AG于H,在Rt△PHG中,HG=2,PH=2,在Rt△APH中,AH=2,AP=.
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【題目】某商店第一次用600元購(gòu)進(jìn)2B鉛筆若干支,第二次又用600元購(gòu)進(jìn)該款鉛筆,但這次每支的進(jìn)價(jià)是第一次進(jìn)價(jià)的倍,購(gòu)進(jìn)數(shù)量比第一次少了30支.
(1)求第一次每支鉛筆的進(jìn)價(jià)是多少元?
(2)若要求這兩次購(gòu)進(jìn)的鉛筆按同一價(jià)格全部銷售完畢后獲利不低于420元,問(wèn)每支售價(jià)至少是多少元?
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【題目】觀察下面一列數(shù)﹣1,2,﹣3,4,﹣5,6…根據(jù)規(guī)律,第2015個(gè)數(shù)是 .
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【題目】2018年,全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到900300億元,將這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為_____元.
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【題目】如圖,AB是半圓直徑,半徑OC⊥AB于點(diǎn)O,點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn),連結(jié)CD、AD、OD,給出以下四個(gè)結(jié)論:①∠DOB=∠ADC;②CE=OE;③△ODE∽△ADO;④2CD2=CE·AB.其中正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①④
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【題目】對(duì)于二次函數(shù)y=(x﹣1)2+2的圖象,下列說(shuō)法正確的是( )
A.開(kāi)口向下
B.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)
C.對(duì)稱軸是x=﹣1
D.有最大值是2
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【題目】如圖,CD⊥AB于D,點(diǎn)F是BC上任意一點(diǎn),F(xiàn)E⊥AB于E,且∠1=∠2,∠3=80°.
(1)試證明∠2=∠DCB
(2)試證明DG∥BC;
(3)求∠BCA的度數(shù).
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