Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，CF切⊙O于點C，BF⊥CF于點F，點D在⊙O上，CD交AB于點E，∠BCE=∠BCF．
（1）求證：弧AC=弧AD；
（2）點G在⊙O上，∠GCD=∠FCD，連接DO并延長交CG于點H，求證：CH=GH；
（3）在（2）的條件下，連接AG，AG=3，CF=2，求CG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）如圖1，連接半徑，根據(jù)切線的性質(zhì)得出垂直，與已知BF⊥FC，得BF∥OC，所以∠BEC=∠BFC=90°，由垂徑定理得：弧AC=弧AD；
（2）如圖2，根據(jù)同圓半徑相等得∠OCD=∠D，由切線的性質(zhì)得∠FCD+∠OCD=90°，根據(jù)等量代換得：
∠DCG+∠D=90°，所以∠DHC=90°，由垂徑定理得CH=HG；
（3）如圖3中，延長GA到M，使得AD=AM，連接DM，延長CG到N，使得GN=GD，連接AN，作DJ⊥AM于J．首先證明△CAD≌△MAD，得AM=AC，DM=CD=DG，同理可得GN=DG，AN=AD=AC，再證明DM2-DA2=（DJ2+JM2）-（DJ2+AJ2）=（JM+AJ）（JM-AJ）=AMAG，求出AD，同理可得AN2-AG2=GNCG，延長即可解決問題．

證明：（1）如圖1，連接OC，

∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵FC是⊙O的切線，
∴OC⊥FC，
∵BF⊥FC，
∴BF∥OC，∠BFC=90°，
∴∠OCB=∠FBC，
∴∠OBC=∠FBC，
∵∠BCE=∠BCF，
∴△FBC∽△EBC，
∴∠BEC=∠BFC=90°，
∴OB⊥DC，
∴弧AC=弧AD；
（2）如圖2，連接OC．

∵OC=OD，
∴∠OCD=∠D，
∵FC是⊙O的切線，
∴∠FCD+∠OCD=90°，
∵∠FCD=∠DCG，
∴∠DCG+∠D=90°，
∴∠DHC=90°，
∴DH⊥CG，
∵DH經(jīng)過圓心O，
∴CH=HG．
（3）如圖3中，延長GA到M，使得AD=AM，連接DM，延長CG到N，使得GN=GD，連接AN，作DJ⊥AM于J．

∵CE=CF=2，
∴CD=2，
∵DC=DG，AC=AD，
∵∠DAM=∠DCG=∠CAD，
∴△CAD≌△MAD，
∴AM=AC，DM=CD=DG，
同理可證GN=DG，AN=AD=AC，
∵DM2-DA2=（DJ2+JM2）-（DJ2+AJ2）=（JM+AJ）（JM-AJ）=AMAG，
∴（4）2-AD2=AD3，
解得AD=13，
同理在等腰三角形△NAC中可得AN2-AG2=GNCG，
∴169-9=4CG，∴CG= ．