Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=kx2+2kx﹣3k（k≠0），的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OC=OA．

（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為　 　，點(diǎn)B坐標(biāo)為　 　，拋物線的解析式為　 　；

（2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、CP，當(dāng)四邊形ABCP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)Q（0，m）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接AQ、BQ，

①當(dāng)∠AQB是鈍角時(shí)，求m的取值范圍；

②當(dāng)∠AQB=60°時(shí)，則m=　 　．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）（﹣3，0），（1，0），y=﹣x2﹣2x+3（2）（，）（3）或-

【解析】

（1）先將y=kx2+2kx﹣3k因式分解的y=k（x+3）（x﹣1），求出與x軸的交點(diǎn),再根據(jù)OC=OA，求出k，即可；

（2）先求出△ABC的面積是=6，再跟據(jù)四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACP的面積，得出當(dāng)四邊形ABCP的面積最大時(shí)，即△ACP的面積最大即可，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p，﹣p2﹣2p+3），設(shè)過點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)C（0，3）的直線解析式為y=dx+e，最后列出△ACP的面積關(guān)系式即可；

（3）①如右圖2所示，當(dāng)∠AQB=90°時(shí)，根據(jù)AQ2+BQ2=AB2，解得m=，所以當(dāng)∠AQB是鈍角時(shí)，m的取值范圍是﹣＜m＜時(shí)；

②作AH⊥QB于H，根據(jù)∠AHQ=90°，∠AQH=60°，得AH=AQ，QH=，得AH=，QH=，AB=4，根據(jù)AH2+BH2=AB2，解得，m=或m=﹣.

（1）∵y=kx2+2kx﹣3k=k（x2+2x﹣3）=k（x+3）（x﹣1），

∴當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣3或x=1，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3k，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=﹣3k，OA=3，

∵OA=OC，

∴﹣3k=3，

∴k=﹣1，

∴拋物線的解析式為：y=y=﹣x2﹣2x+3，

故答案為：（﹣3，0），（1，0），y=﹣x2﹣2x+3；

（2）如右圖1所示，

∵點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)C（0，3），

∴△ABC的面積是=6，

∵四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACP的面積，

∴當(dāng)四邊形ABCP的面積最大時(shí)，即△ACP的面積最大即可，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（p，﹣p2﹣2p+3），

設(shè)過點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)C（0，3）的直線解析式為y=dx+e，

，得，

∴直線AC的解析式為y=x+3，

當(dāng)x=p時(shí)，y=p+3，

∴△ACP的面積是； =﹣（p+）2+，

∴當(dāng)p=時(shí)，△ACP的面積最大，

∴點(diǎn)P（，）；

（3）①如右圖2所示，

當(dāng)∠AQB=90°時(shí)，

∵點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)Q（0，m），

∴AQ2+BQ2=AB2，

∴[（﹣3）2+m2]+[12+m2]=[1﹣（﹣3）]2，

解得，m=，

∴當(dāng)∠AQB是鈍角時(shí)，m的取值范圍是﹣＜m＜時(shí)

②作AH⊥QB于H，

∵∠AHQ=90°，∠AQH=60°，

∴AH=AQ，QH=，

∵點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)Q（0，m），點(diǎn)B（1，0），

∴AH=，QH=，AB=4，

∵AH2+BH2=AB2，

=42，

解得，m=或m=﹣，

故答案為：或﹣．