【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0),B(4,0),與y軸交于C(0,-2).(1)求拋物線的解析式;

(2)HC關于x軸的對稱點,P是拋物線上的一點,當PBHAOC相似時,求符合條件的P點的坐標(求出兩點即可);

(3)過點CCDAB,CD交拋物線于點D,點M是線段CD上的一動點,作直線MN與線段AC交于點N,與x軸交于點E,且∠BME=BDC,當CN的值最大時,求點E的坐標.

【答案】1y=x2x﹣2;(2P的坐標為(﹣10)或(8,18;3E的坐標為(0.

【解析】試題分析:(1)由拋物線與x軸交于A﹣1,0),B4,0),可設拋物線的解析式為y=ax+1)(x﹣4),然后將(0,﹣2)代入解析式即可求出a的值;(2)當△PBH△AOC相似時,△PBH是直角三角形,由可知∠AHB=90°,根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AH的解析式后,聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式后即可求出P的坐標;(3)設M的坐標為(m,0),由∠BME=∠BDC可知∠EMC=∠MBD,所以△NCM∽△MDB,利用對應邊的比相等即可得出CNm的函數(shù)關系式,利用二次函數(shù)的性質即可求出m=時,CN有最大值,然后再證明△EMB∽△BDM,即可求出E的坐標.

試題解析:(1拋物線與x軸交于A﹣1,0),B4,0),

設拋物線的解析式為:y=ax+1)(x﹣4),

把(0,﹣2)代入y=ax+1)(x﹣4),

∴a=

拋物線的解析式為:y=x2x﹣2;

2)當△PBH△AOC相似時,

∴△AOC是直角三角形,

∴△PBH也是直角三角形,

由題意知:H0,2),

∴OH=2,

∵A﹣1,0),B4,0),

∴OA=1,OB=4,

∵∠AOH=∠BOH

∴△AOH∽△BOH,

∴∠AHO=∠HBO

∴∠AHO+∠BHO=∠HBO+∠BHO=90°,

∴∠AHB=90°

設直線AH的解析式為:y=kx+b,

A﹣10)和H0,2)代入y=kx+b

,

解得k=2,b=2

直線AH的解析式為:y=2x+2,

聯(lián)立

解得:x=1x=﹣8,

x=﹣1時,

y=0,

x=8時,

y=18

∴P的坐標為(﹣1,0)或(818

3)過點MMF⊥x軸于點F,

設點E的坐標為(n,0),M的坐標為(m,0),

∵∠BME=∠BDC,

∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD,

∴∠EMC=∠MBD,

∵CD∥x軸,

∴D的縱坐標為﹣2

y=﹣2代入y=x2x﹣2,

∴x=0x=3,

∴D3,﹣2),

∵B4,0),

由勾股定理可求得:BD=,

∵Mm,0),

∴MD=3﹣m,CM=m0≤m≤3

由拋物線的對稱性可知:∠NCM=∠BDC

∴△NCM∽△MDB,

,

∴CN=,

m=時,CN可取得最大值,

此時M的坐標為(﹣2),

∴MF=2,BF=,MD=

由勾股定理可求得:MB=,

∵En,0),

∴EB=4﹣n,

∵CD∥x軸,

∴∠NMC=∠BEM,∠EBM=∠BMD,

∴△EMB∽△BDM,

∴MB2=MDEB,

=×4﹣n),

∴n=﹣

∴E的坐標為(,0).

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