Question

已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）如圖一，點P是第一象限內(nèi)此拋物線上的一個動點，當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標(biāo)；

（3）如圖二，設(shè)線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，M為拋物線的頂點，那么在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最�。咳舸嬖�，請求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）y=﹣x2+x+2；（2）當(dāng)點P坐標(biāo)為（1，2）時，四邊形ABPC的面積最大；（3）存在，點G的坐標(biāo)為（）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得.

（2）如答圖1，四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．求出△PBC面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值.

（3）如答圖2，DE為線段AC的垂直平分線，則點A、C關(guān)于直線DE對稱．連接AM，與DE交于點G，此時△CMG的周長=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點G為所求．分別求出直線DE、AM的解析式，聯(lián)立后求出點G的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三點．

∴， 解得.

∴這條拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2．

（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+m，將B（2，0）、C（0，2）代入得：

，解得.

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．

如答圖1，連接BC．

四邊形ABPC由△ABC與△PBC組成，△ABC面積固定，則只需要使得△PBC面積最大即可．

設(shè)P（x，﹣x2+x+2），

過點P作PF∥y軸，交BC于點F，則F（x，﹣x+2）．

∴PF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x．

S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF（xF﹣xC）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xC）=PF

∴S△PBC=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1

∴當(dāng)x=1時，△PBC面積最大，即四邊形ABPC面積最大．此時P（1，2）．

∴當(dāng)點P坐標(biāo)為（1，2）時，四邊形ABPC的面積最大．

（3）存在．

∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，∴∠ACO=∠AED.

又∵∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ADE.

∴，即，解得AE=.

∴E（，0）．

∵DE為線段AC的垂直平分線，∴點D為AC的中點，∴D（，1）．

可求得直線DE的解析式為：①．

∵，∴M（）．

又A（﹣1，0），則可求得直線AM的解析式為： ②．

∵DE為線段AC的垂直平分線，∴點A、C關(guān)于直線DE對稱．

如答圖2，連接AM，與DE交于點G，

此時△CMG的周長=CM+CG+MG=CM+AM最小，故點G為所求．

聯(lián)立①②式，可求得交點G的坐標(biāo)為（）．

∴在直線DE上存在一點G，使△CMG的周長最小，點G的坐標(biāo)為（）．

考點：1.二次函數(shù)綜合題；2.單擊動點問題；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.二次函數(shù)的性質(zhì)；6.線段垂直平分線的性質(zhì)；7.軸對稱的應(yīng)用（最短線路問題）.