【題目】如圖,拋物線 與x軸交于兩點A(﹣4,0)和B(1,0),與y軸交于點C(0,2),動點D沿△ABC的邊AB以每秒2個單位長度的速度由起點A向終點B運動,過點D作x軸的垂線,交△ABC的另一邊于點E,將△ADE沿DE折疊,使點A落在點F處,設(shè)點D的運動時間為t秒.
(1)求拋物線的解析式和對稱軸;
(2)是否存在某一時刻t,使得△EFC為直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由;
(3)設(shè)四邊形DECO的面積為s,求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式.
【答案】
(1)解:把A(﹣4,0),B(1,0),點C(0,2)代入 得: ,解得: ,
∴拋物線的解析式為: ,
對稱軸為:直線x=﹣ ;
(2)解:存在,∵AD=2t,
∴DF=AD=2t,
∴OF=4﹣4t,
∴D(2t﹣4,0),
∵直線AC的解析式為: ,∴E(2t﹣4,t),
∵△EFC為直角三角形,分三種情況討論:
① 當(dāng)∠EFC=90°,則△DEF∽△OFC,
∴ ,即 ,解得:t= ;
②當(dāng)∠FEC=90°,
∴∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴DE= AF,即t=2t,
∴t=0,(舍去),
③當(dāng)∠ACF=90°,則AC2+CF2=AF2 , 即(42+22)+[22+(4t﹣4)2]=(4t)2 , 解得:t= ,
∴存在某一時刻t,使得△EFC為直角三角形,此時,t= 或 ;
(3)解:∵B(1,0),C(0,2),
∴直線BC的解析式為:y=﹣2x+2,
當(dāng)D在y軸的左側(cè)時,S= (DE+OC)OD= (t+2)(4﹣2t)=﹣t2+4 (0<t<2);
當(dāng)D在y軸的右側(cè)時,如圖2,
∵OD=4t﹣4,DE=﹣8t+10,S= (DE+OC)OD= (﹣8t+10+2)(4t﹣4),即 (2<t< ).
綜上所述:
【解析】(1)(1)利用待定系數(shù)法,將點A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,建立方程組求解即可。
(2)根據(jù)題意分別求出AD、DF、OF的長,表示出點D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式,表示出點E的坐標(biāo),再分三種情況討論△EFC為直角三角形:① 當(dāng)∠EFC=90°,則△DEF∽△OFC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),列出關(guān)于t的方程求解即可;②∠FEC=90°,∠AEF=90°,△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可;③當(dāng)∠ACF=90°,則AC2+CF2=AF2 , 建立關(guān)于t的方程求解即可,從而可得出答案。
(3)求得直線BC的解析式為:y=-2x+2,當(dāng)D在y軸的左側(cè)時,當(dāng)D在y軸的右側(cè)時,如圖2,根據(jù)梯形的面積公式即可得到結(jié)論。
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=∠C=90°,AB=AD,AE⊥BC,垂足為E.若線段AE=2,則四邊形ABCD的面積是_____.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于點D,分別過點A,D作AE∥BC,DE∥AB,AE與DE相交于點E,連結(jié)CE.
(1)求證:AE=BD;
(2)求證:四邊形ADCE是矩形.
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【題目】一個四位數(shù),記千位上和百位上的數(shù)字之和為x,十位上和個位上的數(shù)字之和為y,如果x=y,那么稱這個四位數(shù)為“和平數(shù)”.
例如:2635,x=2+6,y=3+5,因為x=y,所以2635是“和平數(shù)”.
(1)請判斷:3562 (填“是”或“不是”)“和平數(shù)”.
(2)直接寫出:最小的“和平數(shù)”是 ,最大的“和平數(shù)”是 ;
(3)如果一個“和平數(shù)”的個位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍,且百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是14,求滿足條件的所有“和平數(shù)”.
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【題目】如圖1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°
(1)請判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由;
(2)如圖2,在(1)的結(jié)論下,當(dāng)∠E=90°保持不變,移動直角頂點E,使∠MCE=∠ECD,當(dāng)直角頂點E點移動時,問∠BAE與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?
(3)如圖3,在(1)的結(jié)論下,P為線段AC上一定點,點Q為直線CD上一動點,當(dāng)點Q在射線CD上運動時(點C除外)∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系? (2、3小題只需選一題說明理由)
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【題目】如圖,在△ABC中,∠1=∠2,G為AD的中點,BG的延長線交AC于點E,F為AB上的一點,CF與AD垂直,交AD于點H,則下面判斷正確的有( 。
①AD是△ABE的角平分線;②BE是△ABD的邊AD上的中線;
③CH是△ACD的邊AD上的高;④AH是△ACF的角平分線和高
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】下列命題,原命題和它的逆命題都是真命題的是( )
A.若,則
B.若三角形的三條邊分別為,則這個三角形是直角三角形
C.正方形的四條邊都相等
D.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
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【題目】等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,過點B,點C分別作經(jīng)過點A的直線l的垂線,垂足分別為M、N.
(1)請找到一對全等三角形,并說明理由;
(2)BM,CN,MN之間有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由;
(3)若BM=3,CN=5,求四邊形MNCB的面積.
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【題目】把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片(如圖①)不重疊的放在一個底面為長方形(長為m厘米,寬為n厘米)的盒子底部(如圖②),盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示,則圖②中兩塊陰影部分的周長和是( )
A. 4m厘米 B. 4n厘米 C. 2(m+n)厘米 D. 4(m-n)厘米
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