Question

如圖，△ABC中，O為△ABC的外心，I為△ABC的內(nèi)心，設(shè)∠BOC=y₁°，∠BIC=y₂°，∠A=x°（∠BOC≤180°）．
（1）試分別寫(xiě)出y₁，y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)∠A的取值范圍的不同，試比較y₁，y₂之間的大小關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,三角形的外接圓與外心

專題：

分析：（1）根據(jù)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半得到∠A與∠BOC的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理確定∠A與∠BIC的數(shù)量關(guān)系．
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)量關(guān)系消去∠A即可得到兩角之間的關(guān)系．

解答：解：（1）如本題圖，∠A為⊙O中

BC

所對(duì)的圓周角，由圓周角定理得∠A=

1

2

∠BOC．
∵I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠IBC=

1

2

∠ABC，∠ICB=

1

2

∠ACB．
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A．
∵∠BOC=y₁°，∠BIC=y₂°，∠A=x°，
∴y₁=2x，y₂=

1

2

x+90；
（2）由（1）得∠BIC=90°+

1

2

∠A=90°+

1

2

×

1

2

∠BOC=90°+

1

4

∠BOC，
即∠BOC和∠BIC的關(guān)系是∠BIC=90°+

1

4

∠BOC．
即y₂=

1

4

y₁+90．
∵∠BOC≤180°，
∴y₁＞y₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心以及三角形的外接圓和外心，是一道關(guān)于角的計(jì)算性的題目，難度中等．