Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，以為直徑作，與拋物線交于軸上同一點(diǎn)，連接、.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，連接，求直線的解析式；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）符合條件的點(diǎn)有兩個：，.

【解析】

（1）將點(diǎn)A代入解析式中即可求出拋物線的解析式；

（2）已知拋物線的解析式，可求出點(diǎn)B的解析式，還需要知道點(diǎn)D的坐標(biāo)，CD平分，如果連接O’D，那么根據(jù)圓周角定理即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求直線BD的解析式.

（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得，用直線DQ與拋物線解析式聯(lián)立，如果能求出P的坐標(biāo)，則存在，否則不存在.

（1）把代入解析式，可得：

∴

（2）由（1）易得：

∵為的直徑，且，，

∴，，

∵點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，

∴，

連接，則，，.

∴軸∴.

∴設(shè)直線的解析式為，∴，解得，

∴直線的解析式為.

（3）假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)，使得，

設(shè)射線交于點(diǎn)，則弧與弧相等.

分兩種情況（如圖所示）：

∵，，，.

∴把點(diǎn)，繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，

因此，點(diǎn)符合題意，

∵，，

∴用待定系數(shù)法可求出直線解析式為.

解方程組得或

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，坐標(biāo)為不符合題意，舍去.

∵，

∴點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為也符合題意.

∵，.

∴用待定系數(shù)法可求出直線解析式為.

解方程組得或，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，坐標(biāo)為不符合題意，舍去.

∴符合條件的點(diǎn)有兩個：，.