【題目】如圖,已知拋物線軸交于、兩點,與軸交于點,且

1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2)若點是線段上的一個動點(不與重合),分別以為一邊,在直線的同側(cè)作等邊三角形,求的最大面積,并寫出此時點的坐標(biāo);

3)如圖,若拋物線的對稱軸與軸交于點,是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個動點,直線軸交于點.是否存在點,使相似?若存在,請求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2,(10);(3)存在,、、

【解析】

1)令x=0得,y=4,求出點C0,4),根據(jù)OB=OC=4,得到點B4,0)代入拋物線表達(dá)式求出a的值,即可解答;

2)過點MMGx軸于G,過點NNHx軸于H,設(shè)Px,0),△PMN的面積為S,分別表示出,,,,根據(jù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)x=1時,S有最大值是,此時點的坐標(biāo)是;

(3)存在點F,使得△DOE與△AOC相似.有兩種可能情況:①△DOE∽△AOC;②△DOE∽△COA,先求出點E的坐標(biāo),再求出直線DE的解析式,利用方程組求出點F的坐標(biāo),即可解答.

解:(1)令得,,

,

代入拋物線表達(dá)式得:

,解得,

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

(2)如圖,過點軸于,過點軸于,

由拋物線得:,

設(shè),的面積為

,,,

,

S

,

∴當(dāng)時,有最大值是,

的最大面積是,此時點的坐標(biāo)是,

(3)存在點,使得相似.有兩種可能情況:①;②,

由拋物線得:,對稱軸為直線,

,

①若,則,

,

解得,

∴點的坐標(biāo)是,

若點的坐標(biāo)是,

則直線為:,

解方程組,

得:,(不合題意,舍去),

此時滿足條件的點的坐標(biāo)為,

若點的坐標(biāo)是,

同理可求得滿足條件的點的坐標(biāo)為

②若,

同理也可求得滿足條件的點的坐標(biāo)為,

滿足條件的點的坐標(biāo)為

綜上所述,存在滿足條件的點,點的坐標(biāo)為:

、

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