Question

已知關于x的一元二次方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0，當k=

 

時，一元二次方程的一個根大于2，一個根小于2．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：設方程的兩個根分別是m，n，根據題意，得（m-2）（n-2）＜0，根據一元二次方程根與系數的關系即可求得k的取值范圍，再進一步根據k是整數進行求解．

解答：解：∵關于x的一元二次方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0有2個不相等的實數根，
∴△=[-（k+1）]²-4（

1

4

k²+1）＞0，
整理，得
2k-3＞0，
解得k＞

3

2

．
設方程的兩個根分別是m，n，則m+n=k+1，mn=

1

4

k²+1．
根據題意，得（m-2）（n-2）＜0，即mn-2（m+n）+4＜0，
所以

1

4

k²+1-2（k+1）+4＜0，
整理，得
（k-2）（k-6）＜0，
則2＜k＜6．
所以

3

2

＜k＜6．
故答案是：

3

2

＜k＜6．

點評：此題主要是一元二次方程根與系數的關系的運用，在已知方程的一根m比常數a大，一根n比常數a小的時候，可列（m-a）（n-a）＜0的不等式分析求解．