【題目】如圖, 已知二次函數(shù)(,,為常數(shù))的對稱軸為,與軸的交點為,的最大值為5,頂點為,過點且平行于軸的直線與拋物線交于點,.
(1)求該二次函數(shù)的解析式和點,的坐標.
(2)點是直線上的動點,若點,點,點所構(gòu)成的三角形與相似,求出所有點的坐標.
【答案】(1)y=x2+2x+4;B(1,1);A(3,1)(2)(3,1)或(3,7)或(,)或(,)
【解析】
(1)先確定頂點M的坐標,再設頂點式y=a(x1)2+5,然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式;在計算函數(shù)值為1所對應的自變量的值即可得到A、B點的坐標;
(2)先計算出CD=3,BD=1,AM=2,CM=,AC=3,則利用勾股定理的逆定理得到△ACM為直角三角形,∠ACM=90°,根據(jù)相似三角形的判定,當時,△MCP∽△BDC,即,解得PC=3,設此時P(x,x+4),利用兩點間的距離公式得到x2+(x+44)2=(3)2,求出x從而得到此時P點坐標;當時,△MCP∽△CDB,即,解得PC=,利用同樣方法求出對應的P點坐標.
(1)根據(jù)題意得拋物線的頂點M的坐標為(1,5),
設拋物線的解析式為y=a(x1)2+5,
把C(0,4)代入y=a(x1)2+5得a+5=4,
解得a=1,
所以拋物線解析式為y=(x1)2+5,
即y=x2+2x+4;
當y=1時,x2+2x+4=1,
解得x1=1,x2=3,則B(1,1),A(3,1);
(2)∵,
∴CD=3,span>BD=1,
故AM==2,CM=,AC=
設直線AC的解析式為y=kx+b
把A(3,1),C(0,4)代入得
解得
∴直線AC的解析式為y=x+4,
∵CM2+AC2=AM2,
∴△ACM為直角三角形,∠ACM=90°,
∴∠BDC=∠MCP,
如圖1,當時,△MCP∽△BDC,即,解得PC=3,
設此時P(x,x+4),
∴x2+(x+44)2=(3)2,解得x=±3,則此時P點坐標為(3,1)或(3,7);
如圖2,當時,△MCP∽△CDB,即,解得PC=,
設此時P(x,x+4),
∴x2+(x+44)2=()2,解得x=±,則此時P點坐標為(,)或(,);
綜上所述,滿足條件的P點坐標為(3,1)或(3,7)或(,)或(,).
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【題目】如圖①,為矩形邊上的一點,點從點沿折運動到點時停止,點從點沿運動到點時停止,它們運動的速度都是.若點,同時開始運動,設運動時間為,的面積為.已知與的函數(shù)關系圖象如圖②所示,則下列結(jié)論錯誤的是( )
A.B.
C.當時,D.當時,是等腰三角形
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【題目】小明,小亮都想去觀看電影,但是只有一張電影票,他們決定采取抽卡片的辦法確定誰去,規(guī)定如下:將正面分別標有數(shù)字,,的三張卡片(除數(shù)字外其余都同)洗勻后背面朝上放置在桌面上,隨機抽出一張記下數(shù)字后放回,重新洗勻后背面朝上放置在桌面上,再隨機抽出一張記下數(shù)字,如果兩個數(shù)字的積為奇數(shù),則小明去;如果兩個數(shù)字的積為偶數(shù),則小亮去.
(1)請用列表或樹狀圖的方法表示抽出的兩張卡片上的數(shù)字積的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)你認為這個規(guī)則公平嗎?請說明理由.
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【題目】如圖,點D在⊙O上,過點D的切線交直徑AB的延長線于點P,DC⊥AB于點C.
(1)求證:DB平分∠PDC;
(2)如果DC = 6,,求BC的長.
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【題目】某校為了解全校1600名學生每周課外體育活動時間的情況,隨機調(diào)查了其中的部分學生,對這些學生每周課外體育活動時間(單位:小時)進行了統(tǒng)計,根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了一副統(tǒng)計圖,根據(jù)以上信息及統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)本次接受隨機抽樣調(diào)查的學生人數(shù)為______.
(2)求這些學生每周課外體育活動時間的平均數(shù).
(3)估計全校學生每周課外體育活動時間不多于4小時的人數(shù).
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【題目】隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展和城市周邊交通狀況的改善,旅游已成為人們的一種生活時尚,洪祥中學開展以“我最喜歡的風景區(qū)”為主題的調(diào)查活動,圍繞“在松峰山、太陽島、二龍山和鳳凰山四個風景區(qū)中,你最喜歡哪一個?(必選且只選一個)”的問題,在全校范圍內(nèi)隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共抽取了多少名學生?
(2)通過計算補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若洪祥中學共有1350名學生,請你估計最喜歡太陽島風景區(qū)的學生有多少名.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點E,過E作EF⊥AD于F.
(1)求證:四邊形ABEF是正方形;
(2)連接BF交AE于點O,連接DO,若CD=2,CE=1,求OD的長.
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【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°,將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.若AE=1,則FM的長為 .
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于A(2,﹣1)、B(,n)兩點.直線y=2與y軸交于點C.
1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
2)求△ABC的面積;
3)直接寫出不等式kx+b>在如圖所示范圍內(nèi)的解集.
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