Question

如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BE平分∠OBA，CF⊥BE于F，交OB于G．
（1）求證：OE=OG．
（2）若E在O、A兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（不與O、A重合），CF保持與BE的垂直關(guān)系，那么OE與OG還相等嗎？（不需要證明）

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形對(duì)角線平分一組對(duì)角和角平分線的定義求出∠OBE=22.5°，再求出∠OCG=22.5°，從而得到∠OBE=∠OCG，再根據(jù)正方形的對(duì)角線互相平分且相等求出OB=OC，然后利用“角邊角”證明△OBE和△OCG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=OG；
（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠OBE=∠OCG，再利用“角邊角”證明△OBE和△OCG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=OG．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD中，BE平分∠OBA，
∴∠OBE=22.5°，
∵AC⊥BD，CF⊥BE，
∴∠OCG=22.5°，
∴∠OBE=∠OCG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOE=∠COG=90°，
在△OBE和△OCG中，

∠OBE=∠OCG OB=OC ∠BOE=∠COG=90°

，
∴△OBE≌△OCG（ASA），
∴OE=OG；

（2）解：OE=OG．
理由如下：∵AC⊥BD，CF⊥BE，
∴∠OCG+∠OEB=90°，∠OBE+∠OEB=90°，
∴∠OBE=∠OCG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOE=∠COG=90°，
在△OBE和△OCG中，

∠OBE=∠OCG OB=OC ∠BOE=∠COG=90°

，
∴△OBE≌△OCG（ASA），
∴OE=OG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出全等三角形和三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．