Question

如圖：直角梯形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中，AO=4，AC=5，OB=8，D在OB上，且OD=2，連CD．現(xiàn)有兩個(gè)動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1/s的速度，沿AO向終點(diǎn)O移動；點(diǎn)Q以2/s的速度沿OB向終點(diǎn)B移動．過點(diǎn)P作PE∥AC交CD于點(diǎn)E．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）求CD的長，并用t的代數(shù)式表示DE；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，①以P、E、Q、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；②以P、E、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形（注：只需從①，②中任選一種進(jìn)行計(jì)算）；并求出你所選平行四邊形的面積；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△EDQ為直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）作CF⊥OB于F，EG⊥OB于G，由勾股定理就可以求出CD的值，就可以求出sin∠CDF的值，由三角函數(shù)值就可以表示出DE；
（2）①當(dāng)四邊形PEQD是平行四邊形時(shí)，有其現(xiàn)在就可以得出PE=DQ，根據(jù)其性質(zhì)建立方程求出其解即可；②當(dāng)四邊形ACBQ為平行四邊形時(shí)，由PE=BQ建立方程求出其解即可；
（3）分情況討論，當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，如圖2由勾股定理建立（4-t）²+（2t-2）²=（5-

5

4

t）²就可以求出結(jié)論，
當(dāng)∠DEQ=90°時(shí)，如圖3，先求出EQ=

8t-8

5

，再由勾股定理，得方程（2t-2）²=（5-

5

4

t）²+（

8t-8

5

）²．求出其解即可．

解答：解：（1）作CF⊥OB于F，EG⊥OB于G，
∴∠EGD=∠CFD=90°．
∵AC∥OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠AOB=∠CFO=90°，
∴四邊形AOFC是矩形，
∴AO=CF．AC=OF．
∵AC=5，OA=4
∴OF=5，CF=4
∵OD=2，
∴DF=3．
在Rt△DFC中，有勾股定理，得
CD=5．
∴sin∠CDB=

4

5

．tan∠CDF=

4

3

∴sin∠EDG=

4

5

∵EG⊥OB，AO⊥OB，
∴AO∥EG．∠EGO=90°．
∵PE∥OB，
∴四邊形POGE是矩形，
∴OP=EG．
∵OA=4，AP=t，
∴OP=4-t．
∴EG=4-t
∴

EG

ED

=

4

5

，
∴

4-t

ED

=

4

5

，
∴DE=5-

5

4

t．
答：CD=5，DE=5-

5

4

t；
（2）①∵四邊形PEQD是平行四邊形，
∴PE=DQ．
∵EG=4-t，tan∠CDF=

4

3

，
∴

EG

DG

=

4

3

，
∴

4-t

DG

=

4

3

，
∴DG=3-

3

4

t，
∴PE=2+3-

3

4

t=5-

3

4

t．
∵OQ=2t，
∴DQ=2t-2，
∴2t-2=5-

3

4

t．
∴t=

28

11

．
∴DQ=2×

28

11

-2=

34

11

，EG=4-

28

11

=

16

11

，
∴S=

34

11

×

16

11

=

544

121

；
②∵四邊形PEQB是平行四邊形，
∴PE=QB．
∵QB=OB-OQ=8-2t
∴8-2t=5-

3

4

t，
∴t=

12

5

，
∴EG=4-

12

5

=

8

5

．QB=8-2×

12

5

=

16

5

，
∴S=

8

5

×

16

5

=

128

25

；
（3）①當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，如圖2
由勾股定理，得
（4-t）²+（2t-2）²=（5-

5

4

t）²，
解得：t₁=

20

11

，t₂=-

4

5

（舍去）；
②當(dāng)∠DEQ=90°時(shí)，如圖3，
∴DF=OF-OD=5-

3

4

t-2=3-

3

4

t．
∵sin∠EDQ=

EQ

DQ

=

4

5

，
∴EQ=

8t-8

5

由勾股定理，得
（2t-2）²=（5-

5

4

t）²+（

8t-8

5

）²．
49t²-3848t+9424=0，
解得：t₁=

124

49

，t₂=76（舍去）．
③∠EDQ不可能是直角，所以不存在．
t=

124

49

或=

20

11

時(shí)，△EDQ為直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了梯形的性質(zhì)的運(yùn)用，銳角三角函數(shù)值的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，平行四邊形的面積的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用銳角時(shí)間函數(shù)值求解是關(guān)鍵．