Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F是AD上的點，且AE=EF=FD．連接BE、BF，使它們分別與AO相交于點G、H．

（1）求EG：BG的值；

（2）求證：AG=OG；

（3）設AG=a，GH=b，HO=c，求a：b：c的值．

Answer 1

【答案】（1）1：3；（2）見解析；（3）5：3：2．

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質可得AO=AC，AD=BC，AD∥BC，從而可得△AEG∽△CBG，由AE=EF=FD可得BC=3AE，然后根據相似三角形的性質，即可求出EG：BG的值；

（2）根據相似三角形的性質可得GC=3AG，則有AC=4AG，從而可得AO=AC=2AG，即可得到GO=AO﹣AG=AG；

（3）根據相似三角形的性質可得AG=AC，AH=AC，結合AO=AC，即可得到a=AC，b=AC，c=AC，就可得到a：b：c的值．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO=AC，AD=BC，AD∥BC，

∴△AEG∽△CBG，

∴．

∵AE=EF=FD，

∴BC=AD=3AE，

∴GC=3AG，GB=3EG，

∴EG：BG=1：3；

（2）∵GC=3AG（已證），

∴AC=4AG，

∴AO=AC=2AG，

∴GO=AO﹣AG=AG；

（3）∵AE=EF=FD，

∴BC=AD=3AE，AF=2AE．

∵AD∥BC，

∴△AFH∽△CBH，

∴，

∴=，即AH=AC．

∵AC=4AG，

∴a=AG=AC，

b=AH﹣AG=AC﹣AC=AC，

c=AO﹣AH=AC﹣AC=AC，

∴a：b：c=：：=5：3：2．