Question

如圖①，△ABC的角平分線BD、CE相交于點P．
（1）如果∠A=70°，求∠BPC的度數；
（2）如圖②，過P點作直線MN∥BC，分別交AB和AC于點M和N，試求∠MPB+∠NPC的度數（用含∠A的代數式表示）；
（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點P旋轉．
（i）當直線MN與AB、AC的交點仍分別在線段AB和AC上時，如圖③，試探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系，并說明你的理由；
（ⅱ）當直線MN與AB的交點仍在線段AB上，而與AC的交點在AC的延長線上時，如圖④，試問（i）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系是否仍然成立？若成立，請說明你的理由；若不成立，請給出∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系，并說明你的理由．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,平行線的性質,三角形的外角性質

專題：計算題

分析：（1）根據三角形內角和定理得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB，再根據角平分線定義得到∠BPC=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB），再利用三角形內角和定理得∠BPC=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，然后把∠A的度數代入計算；
（2）根據平角定義得∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC，然后根據（1）的求解；
（3）（ i）∠與（2）的說理一樣；
（ⅱ）有結論∠MPB-∠NPC=90°-

1

2

∠A．

解答：解：（1）∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB
=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）
=90°+

1

2

∠A
=90°+

1

2

×70°
=125°；
（2）∵∠BPC=90°+

1

2

∠A，
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+

1

2

∠A）=90°-

1

2

∠A；
（3）（ i）∠MPB+∠NPC=90°-

1

2

∠A．理由如下：
∵∠BPC=90°+

1

2

∠A，
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+

1

2

∠A）
=90°-

1

2

∠A；
（ⅱ）不成立，有∠MPB-∠NPC=90°-

1

2

∠A．
理由如下：由圖可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，
由（i）知：∠BPC=90°+

1

2

∠A，
∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC
=180°-（90°+

1

2

∠A）
=90°-

1

2

∠A．

點評：本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．也考查了平角的定義．