Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax²+bx-2交x軸于A(yíng)、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△MDC的面積為S，動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），令Q=S（3t-19），當(dāng)1＜t＜3時(shí)，Q是否有最小值？若有，請(qǐng)求出Q的最小值和此時(shí)t的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在拋物線(xiàn)上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，y軸上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N，使得以A、B、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）應(yīng)用待定系數(shù)法把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)y=ax²+bx-2中即可解得，然后用求頂點(diǎn)的公式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）用梯形的面積減去三角形的面積即可求得．
（3）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可設(shè)出P的坐標(biāo)為（4，n），代入拋物線(xiàn)的解析式即可求得．

解答：（1）把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)y=ax²+bx-2的解析式得：

0=a-b-2 0=9a+36-2

，
解得；

a= 2 3 b=- 4 3

，
∴該拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=

2

3

x²-

4

3

x-2，
∵y=

2

3

x²-

4

3

x-2，
∴y=

2

3

（x-1）²-

8

3

，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，-

8

3

）．

（2）如圖2所示，∵M(jìn)（1，0），D（1，-

8

3

）、C（0，-2），
∴OM=1，OC=2，DM=

8

3

，
∴S_△MCD=S_梯形OCDM-S_△OCM=

4

3

，
令Q=S（3t-19），
∴Q=

4

3

（3t-19）=4t-

76

3

，
∴當(dāng)1＜t＜3時(shí)，Q是沒(méi)有最小值．

（3）如圖3所示，由A（-1，0）、B（3，0）；
可知AB=4，
∵A、B、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
∴設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，n），
把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的表達(dá)式y(tǒng)=

2

3

x²-

4

3

x-2，
解得；n=

10

3

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4，

10

3

）．

點(diǎn)評(píng)：題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)系中面積的求法．