Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)E，AD⊥CD于點(diǎn)D．
（1）求證：AE平分∠DAC；
（2）若AB=4，∠ABE=60°．
①求AD的長(zhǎng)；
②求出圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：證明題

分析：（1）連接OE，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)由CD與⊙O相切得到OD⊥CD，而AD⊥CD，則OE∥AD，所以∠DAE=∠AEO，由于∠AEO=∠OAE，所以∠OAE=∠DAE；
（2）根據(jù)圓周角定理由AB是直徑得到∠AEB=90°，由于∠ABE=60°，則∠EAB=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△ABE中，計(jì)算出BE=

1

2

AB=2，AE=

3

BE=2

3

；在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，計(jì)算出DE=

1

2

AE=

3

，AD=

3

DE=3；
②先計(jì)算出∠AOE=120°，然后根據(jù)扇形面積公式和陰影部分的面積=S_扇形AOE-S_△AOE=S_扇形AOE-

1

2

S_△ABE進(jìn)行計(jì)算．

解答：（1）證明：連接OE，如圖，
∵CD與⊙O相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OE∥AD，
∴∠DAE=∠AEO，
∵AO=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠OAE=∠DAE，
∴AE平分∠DAC；
（2）解：①∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，∠ABE=60°．
∴∠EAB=30°，
在Rt△ABE中，BE=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
AE=

3

BE=2

3

，
在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，
∴DE=

1

2

AE=

3

，
∴AD=

3

DE=

3

×

3

=3；
②∵OA=OB，
∴∠AEO=∠OAE=30°，
∴∠AOE=120°，
∴陰影部分的面積=S_扇形AOE-S_△AOE
=S_扇形AOE-

1

2

S_△ABE
=

120•π•22

360

-

1

2

•

1

2

•2

3

•2
=

4

3

π-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．也考查了扇形的面積公式和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．