【題目】已知,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H 分別在正方形ABCD邊AB、CD、DA上,AH=2.
(1)如圖1,當(dāng)DG=2,且點(diǎn)F在邊BC上時(shí).
求證:① △AHE≌△DGH;
② 菱形EFGH是正方形;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在正方形ABCD的外部時(shí),連接CF.
① 探究:點(diǎn)F到直線CD的距離是否發(fā)生變化?并說明理由;
② 設(shè)DG=x,△FCG的面積為S,是否存在x的值,使得S=1,若存在,求出x的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:① 在正方形ABCD中,∠A=∠D=90°,
在菱形EFGH中,EH=HG,
又∵ AH=DG=2,
∴ △AHE≌△DGH.
② 由(1)知△AHE≌△DGH,
∴ ∠AHE=∠DGH.
∵ ∠DGH+∠DHG=90°,
∴ ∠DHG+∠AHE=90°,
∴ ∠GHE=90°,
∴ 菱形EFGH是正方形.
(2)解:① 點(diǎn)F到直線CD的距離沒有發(fā)生變化,理由如下:
作FM⊥DC于M,連結(jié)GE. 如圖,
∵ AB∥CD, ∴∠AEG=∠MGE,
∵ HE∥GF, ∴∠HEG=∠FGE,
∴ ∠AEH=∠MGF.
在△AHE和△MFG中,∠A=∠M=90°,HE=FG,
∴ △AHE≌△MFG.
∴ FM=HA=2,即無論菱形EFGH如何變化,點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2.
② 不存在.
∵ DG=x,∴ GC=6-x.
∴ S= S△FCG= ×2×(6-x)=6-x.
若S=S△FCG=1,∴ 由S△FCG=6-x,得x=5.
此時(shí),在Rt△DGH中,HG= = .
相應(yīng)地,在Rt△AHE中,AE= >6,即點(diǎn)E已經(jīng)不在邊AB上.
故不可能有S=1
【解析】(1)①利用正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)易證出結(jié)論;
②由△AHE≌△DGH可得∠AHE=∠DGH,再由∠DGH+∠DHG=90°可得∠GHE=90°,再由正方形的判定定理可證出;
(2)①作FM⊥DC于M,連結(jié)GE. 證△AHE≌△MFG,則FM=HA=2,從而得出結(jié)論;
②先根據(jù)△FCG的面積求出x的值,在Rt△DGH中,利用勾股定理可求出HG的長(zhǎng),在Rt△AHE中,求AE的長(zhǎng),比較可得結(jié)論.
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C. 直線y=2x﹣1與直線y=2x+3一定互相平行
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C.(2,﹣3)
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(2)如圖②,將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意鈍角.請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
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