【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y = ax2+ bx + c經(jīng)過A、BC三點(diǎn),已知點(diǎn)A-30),B0,3),C1,0).

1)求此拋物線的解析式;

2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動點(diǎn),(不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)Px軸的垂線,垂足為F,交直線AB于點(diǎn)E,作PDAB于點(diǎn)D.動點(diǎn)P在什么位置時(shí),PDE的周長最大,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);

3)在直線x = -2上是否存在點(diǎn)M,使得∠MAC = 2MCA,若存在,求出M點(diǎn)坐標(biāo).若不存在,說明理由.

【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)點(diǎn)(-,),PDE的周長最大;(3)點(diǎn)M-2,)或(-2-).

【解析】

1)將A、BC三點(diǎn)代入,利用待定系數(shù)法求解析式;

2)根據(jù)坐標(biāo)發(fā)現(xiàn),△AOB是等腰直角三角形,故只需使得PD越大,則△PDE的周長越大.聯(lián)立直線AB與拋物線的解析式可得交點(diǎn)P坐標(biāo);

3)作點(diǎn)A關(guān)于直線x=-2的對稱點(diǎn)D,利用∠MAC = 2MCA可推導(dǎo)得MD=CD,進(jìn)而求得ME的長度,從而得出M坐標(biāo)

解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A-3,0),B03),C1,0),

,解得:,

所以,拋物線的解析式為y=-x2-2x+3;

2)∵A-3,0),B0,3),

OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°,

PFx軸,∴∠AEF=90°-45°=45°

又∵PDAB,∴△PDE是等腰直角三角形,

PD越大,△PDE的周長越大,易得直線AB的解析式為y=x+3,

設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m

聯(lián)立,消掉y得,x2+3x+m-3=0,

當(dāng)△=9-4m-3=0,即m=時(shí),直線與拋物線只有一個交點(diǎn),PD最長,

此時(shí)x=-y=,∴點(diǎn)(-),△PDE的周長最大;

3)設(shè)直線x=-2x軸交于點(diǎn)E,作點(diǎn)A關(guān)于直線x=-2的對稱點(diǎn)D,則D-1,0),連接MAMD,MC

MA=MD,∠MAC=MDA=2MCA ,

∴∠CMD=DCM

MD=CD=2 ME=

∴點(diǎn)M-2,)或(-2-).

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