Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0），與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）求該函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC，垂足為點(diǎn)Q，連接PC．

①求線(xiàn)段PQ的最大值；

②若以點(diǎn)P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①當(dāng)t＝2時(shí)，線(xiàn)段PQ的最大值為；②滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）或（，）．

【解析】

（1）設(shè)交點(diǎn)式y=a（x+1）（x-4），再展開(kāi)可得到-4a=2，解得a=-，然后寫(xiě)出拋物線(xiàn)解析式；

（2）①作PN⊥x軸于N，交BC于M，如圖，先利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+2，設(shè)P（t，﹣ t2+t+2），則M（t，-t+2），用t表示出PM=-t2+2t，再證明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ=﹣t2+t,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；

②討論：當(dāng)∠PCQ=∠OBC時(shí)，△PCQ∽△CBO，PC∥x軸，利用對(duì)稱(chēng)性可確定此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠CPQ=∠OBC時(shí)，△CPQ∽△CBO，則∠CPQ=∠MPQ，所以△PCM為等腰三角形，

則PC=PM，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到t2+（﹣ t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，然后解方程求出t得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）拋物線(xiàn)解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），

即y＝ax2﹣3ax﹣4a，

則﹣4a＝2，解得a＝﹣ ，

所以?huà)佄锞�(xiàn)解析式為y＝﹣x2+x+2；

（2）①作PN⊥x軸于N，交BC于M，如圖，

BC＝，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+x+2＝2，則C（0，2），

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝mx+n，

把C（0，2），B（4，0）得，解得 ，

∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣x+2，

設(shè)P（t，﹣ t2+t+2），則M（t，﹣ t+2），

∴PM＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，

∵∠NBM＝∠NPQ，

∴△PQM∽△BOC，

∴，即PQ＝，

∴PQ＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，

∴當(dāng)t＝2時(shí)，線(xiàn)段PQ的最大值為；

②當(dāng)∠PCQ＝∠OBC時(shí)，△PCQ∽△CBO，

此時(shí)PC∥OB，點(diǎn)P和點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x＝對(duì)稱(chēng)，

∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）；

當(dāng)∠CPQ＝∠OBC時(shí)，△CPQ∽△CBO，

∵∠OBC＝∠NPQ，

∴∠CPQ＝∠MPQ，

而PQ⊥CM，

∴△PCM為等腰三角形，

∴PC＝PM，

∴t2+（﹣ t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，

解得t＝，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

綜上所述，滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）或（，）．