Question

如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC=2AB，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-

1

2

，0），（0，1），C、D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＜0）的圖象上，則k的值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專(zhuān)題：

分析：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，

k

a

），根據(jù)AC與BD的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得出k關(guān)于a的表達(dá)式，再由BC=2AB=

5

，可求出a的值，繼而得出k的值．

解答：解：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（a，

k

a

），（a＜0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y）．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC與BD的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，
∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-

1

2

，0），（0，1），
∴（a-

1

2

，

k

a

+0）=（x+0，y+1），
則x=a-

1

2

，y=

k

a

-1，
代入y=

k

x

，可得：k=a-2a² ①；
在Rt△AOB中，AB=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
∴BC=2AB=

5

，
故BC²=（0-a）²+（

k

a

-1）²=（

5

）²，
整理得：a⁴+k²-2ka=4a²，
將①k=a-2a²，代入后化簡(jiǎn)可得：a²=1，
∵a＜0，
∴a=-1，
∴k=-1-2=-3．
故答案為：-3．
方法二：
因?yàn)锳B∥CD，所以點(diǎn)C、D的坐標(biāo)是點(diǎn)A、B分別向左平移a，向上平移b得到的（a＞0，b＞0）．
故設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)是（-a，2+b），點(diǎn)D坐標(biāo)是（-1-a，b），
根據(jù)K的幾何意義，|-a|×|2+b|=|-1-a|×|b|，
整理得2a+ab=b+ab，
解得b=2a．
過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線，交x軸于H點(diǎn)，在直角三角形ADH中，
由已知易得AD=

5

，AH=a，DH=b=2a．
由勾股定理得AD²=AH²+DH²，即5=a²+4a²，
得a=1．
所以D坐標(biāo)是（-

3

2

，2）
所以|K|=3，由函數(shù)圖象在第二象限，所以k=-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)的坐標(biāo)及解方程的知識(shí)，解答本題有兩個(gè)點(diǎn)需要注意：①設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，表示出點(diǎn)D坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式；②根據(jù)BC=2AB=

5

，得出方程，難度較大，注意仔細(xì)運(yùn)算．