Question

【題目】我們規(guī)定：形如為常數(shù)，的函數(shù)叫做“奇特函數(shù)”.當(dāng) 時(shí)，“奇特函數(shù)” 就是反比例函數(shù) .

（1） 若矩形的兩邊長(zhǎng)分別是2和3，當(dāng)這兩邊長(zhǎng)分別增加x和y后，得到的新矩形的面積為8 ，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷這個(gè)函數(shù)是否為“奇特函數(shù)”；

（2） 如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（9，0）、（0，3）．點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，連結(jié)OB，CD交于點(diǎn)E，“奇特函數(shù)” 的圖象經(jīng)過(guò)B，E兩點(diǎn).

① 求這個(gè)“奇特函數(shù)”的解析式；

② 把反比例函數(shù) 的圖象向右平移6個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位可得到①中所得“奇特函數(shù)”的圖象.過(guò)線段BE中點(diǎn)M的一條直線l與這個(gè)“奇特函數(shù)”的圖象交于P，Q兩點(diǎn)（P在Q的右側(cè)），若以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為16，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=，是“奇特函數(shù)”；（2）①y=；②向右平移6個(gè)單位，再向上平移 2個(gè)單位；②P1（1，3），P2(15，)，P3（7，5）．

【解析】

（1）根據(jù)矩形的面積公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)分式的加減，可得答案；

（2）①根據(jù)圖象的交點(diǎn)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得奇特函數(shù)解析式；

②根據(jù)圖象右移減，上移加，可得答案，根據(jù)P、Q在奇特函數(shù)圖象上，在直線上，再根據(jù)四邊形的面積為16，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）由題意得：（2+x）（3+y）=8，

∵x+2≠0，

∴3+y=，

∴y=-3=，

根據(jù)新定義判斷得到y=是“奇特函數(shù)”；

（2）①由題意得：B（9，3），

得到直線OB解析式為y=x，直線CD解析式為y=-x+3，

聯(lián)立得：，解得：，即E（3，1），

將B（9，3），E（3，1）代入函數(shù)y=得： ，

整理得：，

解得：，

則“奇特函數(shù)”的解析式為y=；

②把反比例函數(shù)y＝的圖象向右平移6個(gè)單位，再向上平移 2個(gè)單位就可得到①中所得“奇特函數(shù)”的圖象，

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，設(shè)線段BE的中點(diǎn)為F，由反比例函數(shù)中心對(duì)稱性，四邊形PEQB為平行四邊形．

∵四邊形PEQB的面積為16，∴S△PFE=4，

∵B（9，3），F（6，2）．

y=是y=的“奇特函數(shù)”，

∴S△PFE=S△P1OE=4，點(diǎn)E的坐標(biāo)是：（3，1）

過(guò)E作x軸的垂線，與BC、x軸分別交于M、N點(diǎn)．

S△OP1E=S四邊形ONMC-S△OCP1-S△MP1E-S△ONE．

設(shè)P1（x0，y0），

∴

即

∴

∴P1（1，3），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，5）．

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，同理可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（15，）．

∴P1 （1，3），P2(15，)，P3 （7，5）．