Question

【題目】已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°.

（1）如圖①，點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上. 請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BD和CE的位置關(guān)系： ；

（2）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)利用圖②證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖③，取BC的中點(diǎn)F，連接AF，當(dāng)點(diǎn)D落在線段BC上時(shí)，發(fā)現(xiàn)AD恰好平分∠BAF，此時(shí)在線段AB上取一點(diǎn)H，使BH=2DF，連接HD，猜想線段HD與BC的位置關(guān)系并證明.

Answer 1

【答案】（1）BD⊥CE；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）HD⊥BC，證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；（2）延長(zhǎng)延長(zhǎng)BD、CE，交于點(diǎn)M，證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義解答；（3）過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，根據(jù)題意判定△NDH是等腰直角三角形，從而使問(wèn)題得解.

解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形且點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，

∴BD⊥CE；

（2）成立

證明：延長(zhǎng)BD、CE，交于點(diǎn)M

∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC

即∠BAD=∠CAE

又∵AB=AC，AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠ABD=∠ACE

在等腰直角△ABC中，∠ABD +∠DBC+∠ACB=90°

∴∠ACE +∠DBC+∠ACB=90°

∴在△MBC中，∠M=180°－(∠ACE +∠DBC+∠ACB)= 90°

∴BD⊥CE

（3）HD⊥BC

證明：過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N.

∵AB=AC，BF=CF，

∴AF⊥BC

又∵AD平分∠BAF，且DN⊥AB

∴DN=DF

在Rt△BND中，∠B=45°

∴∠NDB=45°，NB=ND

∴NB=DF

∵BH=2DF

∴BH=2NB

而BH=NB+NH

∴NB=NH=ND

∴△NDH是等腰直角三角形，∠NDH=45°

∴∠HDB=∠NDH +∠NDB= 45°+ 45°=90°

∴HD⊥BC