【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,BE,點(diǎn)P為DC的中點(diǎn),
(1)(觀察猜想)圖1中,線段AP與BE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .
(2)(探究證明)把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,(1)中的猜想是否仍然成立?若成立請(qǐng)證明,否請(qǐng)說明理由;
(3)(拓展延伸)把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請(qǐng)直接寫出線段AP長(zhǎng)度的最大值和最小值.
【答案】(1)AP=BE,PA⊥BE;(2)成立,理由見解析;(3)PA的最大值為7,最小值為3
【解析】
(1)設(shè)PA交BE于點(diǎn)O,根據(jù)題目已知條件可以得到△DAC≌△EAB,從而得出PA=BE,∠C=∠PAE,因?yàn)椤?/span>CAP+∠BAO=90°,即可證明出結(jié)論;
(2)結(jié)論成立,延長(zhǎng)AP至M,使PM=PA,連接MC,延長(zhǎng)PA交BE于O,根據(jù)題目已知條件得出△APD≌△MPC,進(jìn)而得到∠EAB=∠ACM,再證明得出△EAB≌△MCA,即可得出結(jié)論;
(3)因?yàn)?/span>AC=10,CM=4,所以6≤AM≤14,再利用AM=2AP即可得出答案.
解:(1)設(shè)PA交BE于點(diǎn)O,
∵AD=AE,AC=AB,∠DAC=∠EAB,
∴△DAC≌△EAB,
∴BE=CD,∠ACD=∠ABE,
∵∠DAC=90°,DP=PC,
∴PA=CD=PC=PD,
∴PA=BE,∠C=∠PAE,
∵∠CAP+∠BAO=90°,
∴∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠AOB=90°,
∴PA⊥BE,
(2)結(jié)論成立.
理由:延長(zhǎng)AP至M,使PM=PA,連接MC,延長(zhǎng)PA交BE于O,
∵PA=PM,PD=PC,∠APD=∠CPM,
∴△APD≌△MPC,
∴AD=CM,∠ADP=∠MCP,
∴AD∥CM,
∴∠DAC+∠ACM=180°,
∵∠BAC=∠EAD=90°,
∴∠EAB=∠ACM,
∵AB=AC,AE=CM,
∴△EAB≌△MCA,
∴BE=BM,∠CAM=∠ABE,
∵PA=AM,PA=BE,
∵∠CAM+∠BAO=90°,
∴∠ABE+∠BAO=90°,
∴∠AOB=90°,
∴PA⊥BE.
(3)∵AC=10,CM=4,
∴10﹣4≤AM≤10+4,
∴6≤AM≤14,
∵AM=2AP,
∴3≤PA≤7.
∴PA的最大值為7,最小值為3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料,完成題.
數(shù)學(xué)課上,老師出示了這樣一道題:
如圖1,在中,點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,.點(diǎn)在延長(zhǎng)線上,連接.探究線段與的數(shù)量關(guān)系并證明.
同學(xué)們經(jīng)過思考后,交流了自己的想法:
小明:“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)與相等.”
小亮:“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)與也相等.”
小偉:“通過邊角關(guān)系構(gòu)造輔助線,經(jīng)過進(jìn)一步推理, 可以得到線段與的數(shù)量關(guān)系.”
老師:“保留原題條件,延長(zhǎng)圖1中的與相交于點(diǎn)(如圖2),若知道與的數(shù)量關(guān)系,可以求出的值.”
(1)求證:;
(2)求的值(用含的式子表示);
(3)如圖2,若則的值為 (用含的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,E為BC的中點(diǎn),將△ABE沿直線AE折疊時(shí)點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,連接FC,若∠DAF=18°,則∠DCF=_____度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如今很多初中生喜歡購(gòu)買飲品飲用,既影響身體健康又給家庭增加不必要的開銷,為此九(2)班數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)本班同學(xué)天飲用飲品的情況進(jìn)行了調(diào)查,發(fā)現(xiàn)大致可分為四種:A非碳酸飲料,B瓶裝礦泉水,C碳酸飲料,D白開水.
根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答下列問題:
(1)九(2)班級(jí)有多少名同學(xué)?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)若該班同學(xué)每人每天只飲用一種飲品(每種僅限一瓶,價(jià)格如表),則該班同學(xué)每天用于飲品的人均花費(fèi)是多少元?
飲品名稱 | 白開水 | 瓶裝礦泉水 | 碳酸飲料 | 非碳酸飲料 |
平均價(jià)格(元/瓶) | 0 | 2 | 3 | 4 |
(3)為了養(yǎng)成良好的生活習(xí)慣,班主任決定在飲用白開水的5名同學(xué)(其中有兩位班長(zhǎng)記為a,b,其余三位記為c,d,e)中隨機(jī)抽取2名作良好習(xí)慣監(jiān)督員,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法,求出抽到的2名同學(xué)都不是班長(zhǎng)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC為等邊三角形,點(diǎn)O為AB邊上一點(diǎn),且BO=2AO=4,將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DEF,則圖中陰影部分的面積為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定:凡一次購(gòu)買鉛筆300支以上(不包括300支),可以按批發(fā)價(jià)付款;購(gòu)買300支以下(包括300支)只能按零售價(jià)付款,小明來該店購(gòu)買鉛筆,如果給學(xué)校九年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買1支,那么只能按零售價(jià)付款,需用150元;如果多購(gòu)買60支,那么可以按批發(fā)價(jià)付款,同樣需用150元.
(1)這個(gè)學(xué)校九年級(jí)的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)?
(2)如果按批發(fā)價(jià)購(gòu)買360支與按零售價(jià)購(gòu)買300支所付款相同,那么這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上,以AE為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D.
(1)求證:①BC是⊙O的切線;②CD2=CECA;
(2)若點(diǎn)F是劣弧AD的中點(diǎn),且CE=3,試求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了防控新型冠狀病毒,購(gòu)買了甲、乙兩種消毒液進(jìn)行校園環(huán)境消毒.己知學(xué)校第一次購(gòu)買了甲種消毒液40瓶和乙種消毒液60瓶,共花費(fèi)3 600元;第二次購(gòu)買了甲種消毒液60瓶和乙種消毒液40瓶,共花費(fèi)3 400元.
(1)每瓶甲種消毒液和每瓶乙種消毒液的價(jià)格分別是多少元?
(2)學(xué)校準(zhǔn)備第三次購(gòu)買這兩種消毒液,其中甲種消毒液比乙種消毒液多10瓶,并且總花費(fèi)不超過3 500元,最多能購(gòu)買多少瓶甲種消毒液?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為⊙的直徑,點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)在⊙上,且.
(1)求證:是⊙的切線;
(2)已知,,點(diǎn)是的中點(diǎn),,垂足為,交于點(diǎn),求的長(zhǎng).
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