【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點D,點E在AC上,以AE為直徑的⊙O經(jīng)過點D.
(1)求證:①BC是⊙O的切線;②CD2=CECA;
(2)若點F是劣弧AD的中點,且CE=3,試求陰影部分的面積.
【答案】(1)①見解析,②見解析;(2).
【解析】
(1)①證明DO∥AB,即可求解;
②證明CDE∽△CAD,即可求解;
(2)證明△OFD、△OFA是等邊三角形,S陰影=S扇形DFO,即可求解.
(1)①連接OD,
∵AD是∠BAC的平分線,
∴∠DAB=∠DAO,
∵OD=OA,
∴∠DAO=∠ODA,
∴∠DAO=∠ADO,
∴DO∥AB,而∠B=90°,
∴∠ODB=90°,
∴BC是⊙O的切線;
②連接DE,
∵BC是⊙O的切線,
∴∠CDE=∠DAC,
∠C=∠C,
∴△CDE∽△CAD,
∴,
∴CD2=CECA;
(2)連接DF、OF,
設(shè)圓的半徑為r,
∵點F是劣弧AD的中點,
∴是OF是DA中垂線,
∴DF=AF,
∴∠FDA=∠FAD,
∵DO∥AB,
∴∠PDA=∠DAF,
∴∠ADO=∠DAO=∠FDA=∠FAD,
∴AF=DF=OA=OD,
∴△OFD、△OFA是等邊三角形,
∴∠C=30°,
∴OD=OC=(OE+EC),而OE=OD,
∴CE=OE=r=3,
S陰影=S扇形DFO=×π×32=.
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【題目】如圖,在邊長為1的正方形中,對角線,相交于點,點,點分別是,的中點,交于點,連接,,,得到以下四個結(jié)論:①,②,③,④,其中正確的結(jié)論是________(填寫序號).
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AC為直徑,AC和BD交于點E,AB=BC.
(1)求∠ADB的度數(shù);
(2)過B作AD的平行線,交AC于F,試判斷線段EA,CF,EF之間滿足的等量關(guān)系,并說明理由;
(3)在(2)條件下過E,F分別作AB,BC的垂線,垂足分別為G,H,連接GH,交BO于M,若AG=3,S四邊形AGMO:S四邊形CHMO=8:9,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,BE,點P為DC的中點,
(1)(觀察猜想)圖1中,線段AP與BE的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .
(2)(探究證明)把△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,(1)中的猜想是否仍然成立?若成立請證明,否請說明理由;
(3)(拓展延伸)把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請直接寫出線段AP長度的最大值和最小值.
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【題目】如圖,在△ABC中,,tanA=3,∠ABC=45°,射線BD從與射線BA重合的位置開始,繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn),與射線BC重合時就停止旋轉(zhuǎn),射線BD與線段AC相交于點D,點M是線段BD的中點.
(1)求線段BC的長;
(2)①當(dāng)點D與點A、點C不重合時,過點D作DE⊥AB于點E,DF⊥BC于點F,連接ME,MF,在射線BD旋轉(zhuǎn)的過程中,∠EMF的大小是否發(fā)生變化?若不變,求∠EMF的度數(shù);若變化,請說明理由.
②在①的條件下,連接EF,直接寫出△EFM面積的最小值______.
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【題目】某中學(xué)準(zhǔn)備開展“陽光體育活動”,決定開設(shè)籃球、足球、乒乓球和羽毛球四種項目的活動,為了了解學(xué)生對這四項活動的喜歡情況,隨機(jī)調(diào)查了該校a名學(xué)生最喜歡的一種項目(每名學(xué)生必選且只能選擇這四項活動中的一種),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下的不完整的統(tǒng)計圖:學(xué)生最喜歡的活動項目的人數(shù)條形統(tǒng)計圖學(xué)生最喜歡的活動項目的人數(shù)扇形統(tǒng)計圖
根據(jù)以上統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)a=_____,b=______,c=______;
(2)請根據(jù)以上信息直接在答題卡中補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請你估計該校1000名學(xué)生中有多少名學(xué)生最喜愛打籃球.
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【題目】如圖,菱形的頂點在軸上,反比例函數(shù)()的圖像經(jīng)過頂點,和邊的中點.若,則的值為( )
A.B.C.D.
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【題目】問題:如圖(1),點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.
【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖(1)證明上述結(jié)論.
【類比引申】如圖(2),四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E、F分別在邊BC、CD上,則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足 關(guān)系時,仍有EF=BE+FD;請證明你的結(jié)論.
【探究應(yīng)用】如圖(3),在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC、CD上分別有景點E、F,且AE⊥AD,DF=40(﹣1)米,現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的長.(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù): =1.41, =1.73)
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【題目】已知,把45°的直三角板的直角頂點E放在邊長為6的正方形ABCD的一邊BC上,直三角板的一條直角邊經(jīng)過點D,以DE為一邊作矩形DEFG,且GF過點A,得到圖1.
(1)求矩形DEFG的面積;
(2)若把正方形ABCD沿著對角線AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC,把45°的直三角板的一個45°角的頂點與等腰直角三角形ABC的直角頂點B重合,直三角板夾這個45°角的兩邊分別交CA和CA的延長線于點H、P,得到圖2.猜想:CH、PA、HP之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若把邊長為6的正方形ABCD沿著對角線AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC,點M是Rt△ABC內(nèi)一個動點,連接MA、MB、MC,設(shè)MA+MB+MC=y,直接寫出 的最小值.
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