Question

已知：如圖，直線y=

1

5

x-1交x軸于B，交y軸于A，C為雙曲線y=

k

x

（x＞0）上一點，△ABC是以AB為斜邊的等腰直角三角形．求k值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：先根據(jù)直線y=

1

5

x-1與坐標(biāo)軸交于A、B兩點求出兩點坐標(biāo)，再設(shè)C（x，y），由等腰三角形的性質(zhì)可知AC=BC，過點C作CD⊥y軸于點D，則CD²+AD²=AC²，2AC²=AB²，故可得出關(guān)于x、y的關(guān)系式，求出x、y的值即可．

解答：解：∵直線y=

1

5

x-1交x軸于B，交y軸于A，
∴A（0，-1），B（5，0）．
設(shè)C（x，y），
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=BC，即x²+（y+1）²=（5-x）²+y² ①，
過點C作CD⊥y軸于點D，
∵CD²+AD²=AC²，2AC²=AB²，即x²+（y+1）²=AC²，2AC²=26，
∴2x²+2（y+1）²=26②，
①②聯(lián)立得，

x2+(y+1)2=(5-x)2+y2 2x2+2(y+1)2=26

，
解得x=2或3，
由①得，y=12-5x，
當(dāng)x=2時，y=12-5×2=2，
當(dāng)x=3時，x=12-5×3=-3（舍去）；
∴C（2，2），
∵點C在反比例函數(shù)y=

k

x

上，
∴k=2×2=4．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，等腰直角三角形的性質(zhì)及兩點間的距離公式、勾股定理、反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，列出關(guān)于x、y的方程組是解答此題的關(guān)鍵．