Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，現(xiàn)將一個(gè)足夠大的直角三角形的頂點(diǎn)P放在斜邊AC上．

（1）設(shè)三角板的兩直角邊分別交邊AB，BC于點(diǎn)M，N．

①當(dāng)點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)時(shí)，分別作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，得到圖1，寫出圖中的一對(duì)全等三角形；

②在①的條件下，寫出與△PEM相似的三角形，并直接寫出PN與PM的數(shù)量關(guān)系．

（2）移動(dòng)點(diǎn)P，使AP=2CP，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角板的兩直角邊分別交邊AB，BC于點(diǎn)M，N（PM不與邊AB垂直，PN不與邊BC垂直）；或者三角板的兩直角邊分別交邊AB，BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，N．

①請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并選擇其中一種圖形證明你的結(jié)論；

②在①的條件下，當(dāng)△PCN是等腰三角形時(shí)，若BC=3cm，則線段BN的長(zhǎng)是 ．

Answer 1

【答案】（1）①△AEP≌△PFC，理由見(jiàn)解析；②△PFN∽△PEM，PN=PM；（2）①PM=2PN，②1cm或5cm.

【解析】

試題分析：（1）①求出∠AEP=∠B=∠PFC=90°，∠APE=∠C=60°，根據(jù)AAS推出兩三角形全等即可；②根據(jù)已知條件得到AB=BC，求出PE=BC，PF=AB，根據(jù)相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即可得出答案．

（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=2，設(shè)CF=x，則PE=2x，求出PF=x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②求出CP=2cm，分為兩種情況：第一種情況：當(dāng)N在線段BC上時(shí)，得出△PCN是等邊三角形，求出CN=CP=2cm，即可得到結(jié)論；第二種情況：當(dāng)N在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求出CN=PC=2cm，即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）①△AEP≌△PFC，

理由是：∵P為AC中點(diǎn)，

∴AP=PC，

∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°，

∴∠AEP=∠B=∠PFC=90°，

∴PF∥AB，PE∥BC，

∴∠APE=∠C=60°，

在△AEP和△PFC中

∴△AEP≌△PFC（AAS）；

②△PFN∽△PEM，PN=PM，

理由是：∵在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠C=60°，

∴AB=BC，

∵PE∥BC，PF∥AB，P為AC中點(diǎn)，

∴E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，

∴PE=BC，PF=AB，

∴，

∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°，

∴∠EPF=90°，

∵∠MPN=90°，

∴∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF，

∵∠PEM=∠PFN=90°，

∴△PFN∽△PEM，

∴，

∴PN=PM．

（2）①PM=2PN，如圖1，

證明：過(guò)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，

∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°，

∴PE∥BC，

∴∠APE=∠C，

∴△AEP∽∠PFC，

∴，

設(shè)CF=x，則PE=2x，

在Rt△PFC中，∠C=60°，∠PFC=90°，

∴PF=x，

∵在四邊形BFPE中，∠BFP=∠B=∠BEP=90°，

∴∠EPF=90°，

即∠EPM+∠MPF=90°，

∵∠NPF+∠MPF=90°，

∴∠NPF=∠EPM，

∵∠MEP=∠PFN=90°，

∴△PEM∽△PFN，

∴，

∴PM=PN；

②∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=60°，BC=3cm，

∴AC=2BC=6cm，

∵AP=2PC，

∴CP=2cm，

分為兩種情況：第一種情況：當(dāng)N在線段BC上時(shí)，如圖2，

∵△PCN是等腰三角形，∠C=60°，CP=2cm，

∴△PCN是等邊三角形，

∴CN=CP=2cm，

∴BN=BC-CN=3cm-2cm=1cm；

第二種情況：當(dāng)N在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，

∵∠PCN=180°-60°=120°，

∴要△PCN是等腰三角形，只能PC=CN，

即CN=PC=2cm，

∴BN=BC+CN=3cm+2cm=5cm，

即BN的長(zhǎng)是1cm或5cm，