【題目】如圖,D是△ABC外接圓上的動(dòng)點(diǎn),且B,D位于AC的兩側(cè),DE⊥AB,垂足為E,DE的延長(zhǎng)線交此圓于點(diǎn)F.BG⊥AD,垂足為G,BG交DE于點(diǎn)H,DC,F(xiàn)B的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,且PC=PB.
(1)求證:BG∥CD;
(2)設(shè)△ABC外接圓的圓心為O,若AB=DH,∠OHD=80°,求∠BDE的大。
【答案】(1)證明見解析;(2)20°或40°.
【解析】
(1)根據(jù)等邊對(duì)等角得:∠PCB=∠PBC,由四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得:∠BAD+∠BCD=180°,從而得:∠BFD=∠PCB=∠PBC,根據(jù)平行線的判定得:BC∥DF,可得∠ABC=90°,AC是⊙O的直徑,從而得:∠ADC=∠AGB=90°,根據(jù)同位角相等可得結(jié)論;
(2)先證明四邊形BCDH是平行四邊形,得BC=DH,根據(jù)特殊的三角函數(shù)值得:∠ACB=60°,∠BAC=30°,所以DH=AC,分兩種情況:
①當(dāng)點(diǎn)O在DE的左側(cè)時(shí),如圖2,作輔助線,構(gòu)建直角三角形,由同弧所對(duì)的圓周角相等和互余的性質(zhì)得:∠AMD=∠ABD,則∠ADM=∠BDE,并由DH=OD,可得結(jié)論;
②當(dāng)點(diǎn)O在DE的右側(cè)時(shí),如圖3,同理作輔助線,同理有∠ADE=∠BDN=20°,∠ODH=20°,得結(jié)論.
(1)證明:如圖1,
∵PC=PB,
∴∠PCB=∠PBC,
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵∠BCD+∠PCB=180°,
∴∠BAD=∠PCB,
∵∠BAD=∠BFD,
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC,
∴BC∥DF,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴∠ABC=90°,
∴AC是⊙O的直徑,
∴∠ADC=90°,
∵BG⊥AD,
∴∠AGB=90°,
∴∠ADC=∠AGB,
∴BG∥CD;
(2)由(1)得:BC∥DF,BG∥CD,
∴四邊形BCDH是平行四邊形,
∴BC=DH,
在Rt△ABC中,∵AB=DH,
∴tan∠ACB=,
∴∠ACB=60°,∠BAC=30°,
∴∠ADB=60°,BC=AC,
∴DH=AC,
①當(dāng)點(diǎn)O在DE的左側(cè)時(shí),如圖2,作直徑DM,連接AM、OH,則∠DAM=90°,
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB,
∴∠BED=90°,
∴∠BDE+∠ABD=90°,
∵∠AMD=∠ABD,
∴∠ADM=∠BDE,
∵DH=AC,
∴DH=OD,
∴∠DOH=∠OHD=80°,
∴∠ODH=20°
∵∠AOB=60°,
∴∠ADM+∠BDE=40°,
∴∠BDE=∠ADM=20°,
②當(dāng)點(diǎn)O在DE的右側(cè)時(shí),如圖3,作直徑DN,連接BN,
由①得:∠ADE=∠BDN=20°,∠ODH=20°,
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°,
綜上所述,∠BDE的度數(shù)為20°或40°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,過點(diǎn)A,C作相距為2的平行線段AE,CF,分別交CD,AB于點(diǎn)E,F(xiàn),則DE的長(zhǎng)是( 。
A. B. C. 1 D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示.
(1)若△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P(a,b)隨著△ABC平移后到了點(diǎn)P′(a+4,b﹣1),直接寫出A點(diǎn)平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo).
(2)直接作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A′B′C′(其中A′、B′、C′分別是A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn))
(3)求四邊形ABC′C的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,.動(dòng)點(diǎn)從的頂點(diǎn)出發(fā),以的速度沿勻速運(yùn)動(dòng)回到點(diǎn).圖2是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中,線段的長(zhǎng)度隨時(shí)間變化的圖象.其中點(diǎn)為曲線部分的最低點(diǎn).
請(qǐng)從下面A、B兩題中任選一作答,我選擇________題.
A.的面積是______,B.圖2中的值是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸、軸分別交于點(diǎn),,直線經(jīng)過點(diǎn),并與軸交于點(diǎn).
(1)求,兩點(diǎn)的坐標(biāo)及的值;
(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā),以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸正方向運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)作軸的垂線,分別交直線,于點(diǎn),.設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為.
①點(diǎn)的坐標(biāo)為______.點(diǎn)的坐標(biāo)為_______;(均用含的式子表示)
②請(qǐng)從下面A、B兩題中任選一題作答我選擇________題.
A.當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),探究是否存在某一時(shí)刻,使?若存在,求出此時(shí)的面積;若不存在說明理由.
B.點(diǎn)是線段上一點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí),探究是否存在某一時(shí)刻使?若存在、求出此時(shí)的值,并直接寫出此時(shí)為等腰三角形時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把正方形鐵片OABC置于平面直角坐標(biāo)系中,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)P(1,2)在正方形鐵片上,將正方形鐵片繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針方向依次旋轉(zhuǎn)90°,第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置,第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置…,則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2017次后,點(diǎn)P的坐標(biāo)為____________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,在上,且,過點(diǎn)作射線(AN與BC在AC同側(cè)),若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿射線勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)速度為/,設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.
(1)經(jīng)過_______秒時(shí),是等腰直角三角形?
(2)當(dāng)于點(diǎn)時(shí),求此時(shí)的值;
(3)過點(diǎn)作于點(diǎn),已知,請(qǐng)問是否存在點(diǎn),使是以為腰的等腰三角形?對(duì)存在的情況,請(qǐng)求出t的值,對(duì)不存在的情況,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,為了躲避臺(tái)風(fēng),一輪船一直由西向東航行,上午點(diǎn),在處測(cè)得小島的方向是北偏東,以每小時(shí)海里的速度繼續(xù)向東航行,中午點(diǎn)到達(dá)處,并測(cè)得小島的方向是北偏東,若小島周圍海里內(nèi)有暗礁,問該輪船是否能一直向東航行?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c都是常數(shù),且a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)(﹣2,0)、(x1,0),且1<x1<2,與y軸的正半軸的交點(diǎn)在(0,2)的下方,下列結(jié)論:①4a﹣2b+c=0;②a<b<0;③2a+c>0;④2a﹣b+1>0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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