【題目】如果拋物線(xiàn)C1的頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)C2上,拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)也在拋物線(xiàn)C1上,那么我們稱(chēng)拋物線(xiàn)C1C2為“互相關(guān)聯(lián)”的拋物線(xiàn).如圖,已知拋物線(xiàn)是“互相關(guān)聯(lián)”的拋物線(xiàn),點(diǎn)AB分別是拋物線(xiàn)C1,C2的頂點(diǎn),拋物線(xiàn)C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)D6,-1.

1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)和拋物線(xiàn)C2的解析式.

2)拋物線(xiàn)C2上是否存在點(diǎn)E,使得ABE是以AB為直角邊的直角三角形?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1A(-2,-1),B2,3),;(2)存在,E的坐標(biāo)為(6,-1)或(10,-13).

【解析】

1)由拋物線(xiàn)可得A(-2,-1),將,D6,-1)代入C2:y2ax2xc,求得y2=-x2x2,B2,3.

2)易得直線(xiàn)AB的解析式:,若B為直角頂點(diǎn),E6,-1);若A為直角頂點(diǎn),,E10,-13.

1)由拋物線(xiàn)可得

A(-2,-1

由拋物線(xiàn)C2:y2ax2xc過(guò)點(diǎn)A,D6,-1

解得

故拋物線(xiàn)C2的解析式為y2=-x2x2.

y2=-x2x2.

x223

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,3.

2)存在.

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,m2m2.

A(-2,-1),B2,3),

AB2=(222+(31232,

AE2=(m22+(m2m212

BE2=(m22+(m2m232.

①當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),有AB2AE2BE2

32+(m22+(m2m212

=(m22+(m2m232

解得m1=-2(不合題意,舍去),m210,

E10,-13.

②當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí),有AB2BE2AE2,

32+(m22+(m2m232

=(m22+(m2m212

解得m36,m42(不合題意,舍去),

E6,-1.

綜上所述,當(dāng)E的坐標(biāo)為(6,-1)或(10,-13.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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②若BE=4DE,求證:AF2=AQ·AD

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