Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連接BE、CE．

若a=5，sin∠ACB= ，解答下列問題：
（1）填空：b=；
（2）當(dāng)BE⊥AC時，求出此時AE的長；
（3）設(shè)AE=x，試探索點E在線段AD上運動過程中，使得△ABE與△BCE相似時，請寫x、a、b三者的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）12
（2）

解：∵BE⊥AC，

∴∠EBC+∠ACB=90°

又∵∠ABE+∠EBC=90°，

∴∠ABE=∠ACB，

又∵∠BAE=∠ABC=90°，

∴△AEB∽△BAC，

∴ = ，

即 = ，

∴AE=

（3）

解：∵點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，

∴當(dāng)△ABE與△BCE相似時，則∠BEC=90°，

①當(dāng)△ABE∽△EBC時，∠ABE=∠EBC=45°，

∴△EBC是等腰直角三角形，

BC= BE，BE= AB，

∴BC=2AB，即b=2a，x=a或x= b．

②當(dāng)△BAE∽△CEB

∴∠ABE=∠BCE，

又∵BC∥AD，

∴∠DEC=∠BCE，

∴∠ABE=∠DEC，

又∵∠BAE=∠EDC=90°，

∴△BAE∽△EDC，

∴ = ，

即 = ，

∴x2﹣bx+a2=0，

即（x﹣ ）2= ，

當(dāng)b2﹣4a2≥0，

∵a＞0，b＞0，

∴b≥2a，

即b≥2a時，x= ．

綜上所述：當(dāng)a、b滿足條件b=2a時△BAE∽△CEB，此時x= b（或x=a）；當(dāng)a、b滿足條件b＞2a時△BAE∽△CEB，此時x= ．

【解析】解：（1）∵在矩形ABCD中，
∴∠ABC=90°，
∵AB=a=5，sin∠ACB= ，
∴ = ，
∴AC=13，
∴BC= =12，
∴b=12；
所以答案是：12；
【考點精析】利用相似三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；相似三角形的判定方法:兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）．