Question

已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．

（Ⅰ）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；
（Ⅱ）如圖②，若∠CAB=60°，求BD的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：（Ⅰ）利用圓周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的長度；利用圓心角、弧、弦的關(guān)系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣得到BD=CD=5

2

；
（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．由圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定推知△OBD是等邊三角形，則BD=OB=OD=5．

解答：解：（Ⅰ）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC=

BC2-AB2

=

102-62

=8．
∵AD平分∠CAB，
∴

CD

=

BD

，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD²+BD²=BC²，
∴易求BD=CD=5

2

；

（Ⅱ）如圖②，連接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB=

1

2

∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直徑為10，則OB=5，
∴BD=5．

點評：本題綜合考查了圓周角定理，勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題利用了圓的定義、有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形證得△OBD是等邊三角形．