Question

如圖一，直線y=-

4

3

x+4與x軸交于點A，與y軸交于點c，在第一象限內(nèi)將線段CA沿另一直線CG向上翻折得到線段CD，點D與點A對應(yīng)且CD∥x軸，過點D作DE⊥x軸于E點，與GC交于F點．

①求點F坐標；
②點P、Q分別從E、A均以每秒1個單位的速度沿線段E0、AC運動，當一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)△APQ的面積為S，運動時間為t（秒），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．
③在②的條件下，如圖二，連接AF，是否存在某一時刻t值，使直線PQ與AC所夾的銳角等于

1

2

∠AFE？若存在，判斷此時以P為圓心，

4

3

為半徑的圓與直線AC的位置關(guān)系，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：①根據(jù)軸對稱，可得對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等，根據(jù)勾股定理，可得EF的長，可得答案；
②分了討論：0＜t＜2或2≤t≤5，根據(jù)正弦函數(shù)，可得QM的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
③根據(jù)四點共圓的判定與性質(zhì)，可得∠AFE=∠DCA，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，可得∠QPO=∠G，根據(jù)等腰三角形的判定，可得一元一次方程，根據(jù)等角的正弦函數(shù)相等，可得PN的長，根據(jù)圓心到直線的距離，可得直線與圓的位置關(guān)系；根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得PH、AH，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得t的值，PH的值，根據(jù)圓心到直線的距離，可得直線與圓的位置關(guān)系．

解答：解：①∵CD∥x軸，點D、點A關(guān)于直線CF對稱，
OA=3，OC=4，
∴CD=CA=5．
∠DCF=∠ACF=∠FGA，連接AF如圖一，
              
∴∠CAF=∠D=90°設(shè)EF=x，則DF=AF，DF=4-x，AE=2，
∴（4-x）²-x²=4．
解得  x=

3

2

．
∴點F坐標為（5，

3

2

）．
②如圖二，點P在線段AE上，點Q在線段AC上（0＜t＜2），
                    
過點Q作QM⊥x軸于M點，AP=2-t，AQ=t，
QM=AQ sin∠QAM=

4

5

t，
S=

1

2

AP•QM=

1

2

（2-t）•

4

5

t=-

2

5

t²+

4

5

t；
當點P在線段OA上，點Q在AC上（2＜t≤5），
S=

1

2

AP•QM=

1

2

（t-2）•

4

5

t=

2

5

t²-

4

5

t，
∴

- 2 5 t2+ 4 5 t(0＜t＜2) 2 5 t2- 4 5 t(2＜t≤5)

；
③如圖三∵∠DCF=∠ACF，∠CAF=∠D=90°，
，
∴∠DCA+∠DFA=180°．
∴∠AFE=∠DCA=2∠DCF=2∠ACF，
∴∠PQA=

1

2

∠AFE=∠ACF，
∴QP∥CG，∠QPO=∠G=∠AQP，
∴AP=AQ，
∴t=2-t，
∴t=1．
當t=1時，AP=1，過點P做PN⊥AC于點N，
PN=PA•sin∠PAN=PA•sin∠oac=

4

5

，

4

5

＜

4

3

，
∴d＜r，
以P為圓心，

4

3

為半徑的圓與直線AC的位置關(guān)系是相交；
如圖四，當點P在線段OA上時，∠PQA=∠ACF，過點作PH⊥AQ于點H，

PH=AP•sin∠OAC=

4

5

（t-2），
 AH=AP•cos∠OAC=

3

5

（t-2），
∴QH=AQ-AH=t-

3

5

（t-2）=

2

5

t+

6

5

，
∵△PQH∽△FCD，
∴

PH

QH

=

DF

CD

．

4 5 (t-2)

2 5 t+ 6 5

=

1

2

，
t=

11

3

．
當t=

11

3

時，PH=

4

3

，
∴d=r．
以P為圓心，

4

3

為半徑的圓與直線AC的位置關(guān)系是相切．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了軸對稱，勾股定理，四點共圓的判定與判定，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系．運用的知識點多，題目稍有難度．