Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣4a（x≥0）的圖象記為M1，函數(shù)y＝﹣ax2﹣2ax+4a（x＜0）的圖象記為M2，其中a為常數(shù)，且a≠0，圖象M1，M2合起來得到的圖象記為M．

（1）當(dāng)圖象M1的最低點(diǎn)到x軸距離為3時(shí)，求a的值．

（2）當(dāng)a＝1時(shí)，若點(diǎn)（m，）在圖象M上，求m的值，

（3）點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（﹣5，﹣1），（4，﹣1），連結(jié)PQ．直接寫出線段PQ與圖象M恰有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或a=.

【解析】

（1）因?yàn)樘岬?/span>“最低點(diǎn)”，所以函數(shù)圖象M1對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上，a＞0，令頂點(diǎn)縱坐標(biāo)＝3即求出a的值．

（2）把點(diǎn)在圖象M1或圖象M2進(jìn)行分類討論，把a＝1和y＝代入解析式即求出m的值．

（3）把a＞0時(shí)圖象M的大致草圖畫出，根據(jù)圖象觀察和計(jì)算說明線段PQ所在位置對(duì)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響，得到a的范圍，同理可計(jì)算a＜0時(shí)的情況．

解：（1）∵y＝ax22ax4a＝a（x1）25a，且圖象M1的最低點(diǎn)到x軸距離為3

∴a＞0，

∴|5a|＝3，即5a＝3

∴a＝；

（2）當(dāng)a＝1時(shí)，點(diǎn)（m，）在圖象M上，

①若點(diǎn)在圖象M1上，即m≥0，m22m4＝，

解得：m1＝，m2＝（舍去）；

②若點(diǎn)在圖象M2上，即m＜0，m22m＋4＝，

解得：m3＝（舍去），m4＝，

綜上所述，m的值為或；

（3）若a＞0，則圖象M的大致形狀如圖1，

若線段PQ經(jīng)過圖象M1的頂點(diǎn)（1，5a）

則5a＝1，得a＝，

對(duì)于圖象M2，時(shí)，

解得：(舍去)，，

∵，

∴直線PQ與圖象M2的交點(diǎn)在點(diǎn)P的右側(cè)

∴線段PQ與圖象M2有一個(gè)交點(diǎn)，與M有兩個(gè)交點(diǎn)，

而M1與y軸的交點(diǎn)為（0，-4a），

∴當(dāng)5a＜-1≤-4a時(shí)，線段PQ與圖象M有三個(gè)交點(diǎn)，

解得：；

同理當(dāng)a＜0時(shí)，

同理可得,而當(dāng)a=即上圖情況是，線段PQ的交點(diǎn)恰好為Q點(diǎn)，此時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，而時(shí)，圖像線段PQ的交點(diǎn)只有個(gè)，右側(cè)沒有交點(diǎn)，所以a=,

故線段PQ與圖象M恰有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)a的取值范圍是：或a=.