Question

在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AM上的動(dòng)點(diǎn)，將線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ，線段BQ的延長(zhǎng)線交AM延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）如圖1，若α=60°，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，則∠BDA=

 

；
（2）如圖2，點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)M重合，則∠BDA=

 

．（用含α的式子表示）

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得∠BMD=90°，結(jié)合條件可求得△BMQ是等邊三角形，進(jìn)一步可求得∠BDA；
（2）首先利用已知得出△CPD≌△BPD，進(jìn)而得出∠PCD+∠PQD=∠PQB+∠PQD=180°，即可求出．

解答：解：（1）∵AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，
∴AM⊥BC，
∴∠BMD=90°，
∵∠CMQ=2α=120°，
∴∠BMP=60°，
∵BM=MC=MQ，
∴∠MBQ=60°，
∴∠BDA=90°-60°=30°，
故答案為：30°；
（2）如圖，連接PB，CD，

∵AC=AB，M是BC的中點(diǎn)，
∴AM⊥BC，
即AD為BC的垂直平分線，
∴BD=CD，BP=PC，PD=PD，
在△BPD與△CPD中，

PB=PC BD=CD PD=PD

，
∴△BPD≌△CPD（SSS），
∴∠CDA=∠BDA，∠PBD=∠PCD，
又∵PQ=PC，
∴PQ=PB，∠BDC=2∠1，∠4=∠PBQ=∠PCD，
∴∠PCD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，
∴∠CPQ+∠BDC=360°-（∠PCD+∠PQD）=180°，
∴∠BDA=180°-∠CPQ=180°-2α，
∴2∠BDA=180°-2α，
∴∠BDA=90°-α．
故答案為：90°-α．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出∠CPQ+∠BDC=360°-（∠PCD+∠PQD）=180°是解題關(guān)鍵．