Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分線，BM平分∠ABC交AE于點M，經(jīng)過B、M兩點的⊙O交BC于點G，交AB于點F，F(xiàn)B恰為⊙O的直徑．
（1）判斷AE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）當BC=4，AB=6時，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AE⊥BC，求出OM∥BC，推出AE⊥OM，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）證△AOM∽△ABE，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）AE與⊙O的位置關(guān)系是相切，
理由是：連接OM，
∵AB=AC，AE是角平分線，
∴AE⊥BC，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠EBM，
∵OM=OB，
∴∠ABM=∠OMB，
∴∠OMB=∠EBM，
∴OM∥BC，
∵AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；

（2）設(shè)⊙O的半徑是R，
∵AB=AC，AE⊥BC，BC=4，
∴BE=CE=2，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE，
∴

OM

BE

=

AO

AB

，
∴

R

2

=

6-R

6

，
解得：R=1.5，
即⊙O的半徑是1.5．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，有一定的難度．