【題目】如圖1,已知一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn),且與x軸交于另一點(diǎn)C.

(1)求b、c的值;

(2)如圖1,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段BD上,且BE=2ED,連接CE并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)將直線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)15°后交y軸于點(diǎn)G,連接CG,如圖2,P為ACG內(nèi)以點(diǎn),連接PA、PC、PG,分別以AP、AG為邊,在他們的左側(cè)作等邊APR,等邊AGQ,連接QR

①求證:PG=RQ;

②求PA+PC+PG的最小值,并求出當(dāng)PA+PC+PG取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)b=﹣2,c=3;(2)M(,;(3)證明見(jiàn)解析;PA+PC+PG的最小值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(﹣,).

【解析】

試題分析:(1)把A(﹣3,0),B(0,3)代入拋物線即可解決問(wèn)題.

(2)首先求出A、C、D坐標(biāo),根據(jù)BE=2ED,求出點(diǎn)E坐標(biāo),求出直線CE,利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)M.

(3)①欲證明PG=QR,只要證明QAR≌△GAP即可.②當(dāng)Q、R、P、C共線時(shí),PA+PG+PC最小,作QNOA于N,AMQC于M,PKOA于K,由sinACM==求出AM,CM,利用等邊三角形性質(zhì)求出AP、PM、PC,由此即可解決問(wèn)題.

試題解析:(1)一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),A(﹣3,0),B(0,3),拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn),解得,b=﹣2,c=3.

(2),對(duì)于拋物線,令y=0,則,解得x=﹣3或1,點(diǎn)C坐標(biāo)(1,0),AD=DC=2,點(diǎn)D坐標(biāo)(﹣1,0),BE=2ED,點(diǎn)E坐標(biāo)(,1),設(shè)直線CE為y=kx+b,把E、C代入得到,解得,直線CE為,由,解得點(diǎn)M坐標(biāo)(,).

(3)①∵△AGQ,APR是等邊三角形,AP=AR,AQ=AG,QAC=RAP=60°,∴∠QAR=GAP,在QAR和GAP中,AQ=AG,QAR=GAP,AR=AP,∴△QAR≌△GAP,QR=PG.

②如圖3中,PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC,當(dāng)Q、R、P、C共線時(shí),PA+PG+PC最小,作QNOA于N,AMQC于M,PKOA于K.∵∠GAO=60°,AO=3,AG=QG=AQ=6,AGO=30°,∵∠QGA=60°,∴∠QGO=90°,點(diǎn)Q坐標(biāo)(﹣6,),在RTQCN中,QN=,CN=7,QNC=90°,QC==sinACM==,AM=,∵△APR是等邊三角形,∴∠APM=60°,PM=PR,cos30°=,AP=,PM=RM=,MC==,PC=CM﹣PM=,,CK=,PK=,OK=CK﹣CO=點(diǎn)P坐標(biāo)(﹣,),PA+PC+PG的最小值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(﹣,).

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